非线性动力学混沌理论方法及其意义吴　彤(清华大学　科学技术与社会研究所,北京　100084) 摘　要:本文考察了非线性混沌的各类描述定义,研究了混沌的细致分类,讨论和研究了混沌特性以及判别混沌、寻找混沌征兆的方法,区别了混沌与噪声;对混沌理论的认识论和方法论意义进行了四方面的研究:混沌研究对复杂性研究的非线性方法论的意义,混沌和决定论与可预测性的关系,混沌边缘研究意义,建设和避免混沌的关系。

关键词:非线性;混沌;方法;可预测性中图分类号:F224.0 文献标识码:A 文章编号:1000-0062(2000)03—0072-08 如果仔细考察人类在自己的生命演化过程中的关注,似乎有两个问题最重要,第一,如何预测未来,第二,是否能够预测未来,因果关系等问题均在此列。

第一个问题是实用性的,而第二个问题则是理论性的,它关系到一种原则和生活的意义。

20世纪中叶以后,当气象学家洛伦兹提出“蝴蝶效应”时,人们了解到,就是完全确定性的动力学方程,也仍然会出现随机性演化。

那么,如何预测未来呢?预测还可能吗?人们现在更害怕混沌理论打破他们对未来可预测性的幻想。

但是这种幻想实在是一种幻象。

其实,从休谟起,科学哲学对归纳问题本质的揭示已经对单一的决定论因果观念给出了不可能的回答。

有哪一个人知道自己的生命和生命之途将如何走向呢?哪一个生命的道路不是在生命演化过程中逐渐完成的呢?其实,宿命论与线性决定论的联系比与随机论的联系更强。

另一方面,也出现了相反的误读和误解。

人们以为,混沌理论如果正确,那么世界将完全不可预测。

似乎混沌理论助长了悲观主义。

其实,混沌理论的出现,一方面揭示了自然界和社会客观存在混沌,谁都无法避免;另一方面,混沌理论对混沌动力学系统的研究,恰恰帮助人们了解混沌现象,对“混沌”不混沌,才能处事(处世)不惊、不乱。

混沌理论在一定意上更支持了决定论,因为它把原来属于随机性的、偶然性的领域,也纳入到决定论的管辖范围内。

所以,在一定意义上,混沌理论是预测混沌的,是认识和控制混沌的工具和方法。

而且后面我们将看到,混沌强弱不同时,系统演化行为的预测完全是不同的。

一、关于非线性动力学混沌的各种定义 普通意义上,混沌只是意味着混乱、无秩序,而在非线性动力学系统中,混沌一词则有更精细的十分不同的意义。

为了区别,把前一种混沌称为线性平衡态热力学混沌,后一种混沌称为非线性动力学混沌。

关于混沌在古代、经典科学的不同含义,以往许多文献讨论的比较充分,这里不再赘述。

本文只研究非线性动力学混沌的定义、方法和意义。

收稿日期:2000-02-23作者简介:吴　彤(1954-　),男,清华大学科学技术与社会研究所教授,硕士.2000年第3期第15卷清华大学学报(哲学社会科学版)JOU RNA L O F T SING HUA UN IV ERSIT Y(Philosophy and Social Sciences )N o .3　2000Vol .15DOI :10.13613/j .cn ki .qh dz .000757 1.国外关于非线性动力学混沌的定义最早创立混沌理论的著名气象学家洛伦兹说:“我用混沌这个术语来泛指这样的过程———它们看起来是随机发生的而实际上其行为却由精确的法则决定”。

[1]在另外的地方,他称更准确的被重新定义的混沌系统是指敏感地依赖于初始条件的内在变化的系统。

对于外来变化的敏感性本身并不意味着混沌。

[2]另一个在圣费研究所工作过对元胞自动机的研究方面有重要贡献的混沌理论创始人诺曼·帕卡德在接受采访时对混沌现象的描述是,这种现象有三个名称:蝴蝶效应、对初始条件的敏感性依赖和信息增殖。

他指出,在决定论中也会存在随机行为,这就是混沌的一种特定属性。

初始状态失之毫厘,最终状态就会谬以千里。

初始状态微小的差别随系统的演化越变越大。

[3]混沌是这样一个例子:它的行为所表现出来的方程式很简单,但却是不可推导的。

……按以前的观点,我们会认为是可解的,可预测的,但事实上混沌却表现出一种随机的、不可预测的运动方式。

[4]2.国内对混沌的定义中国科学院院士郝柏林教授对混沌的定义与国外学者类似。

他说:某些完全确定论的系统,不加任何随机因素就可能出现与布朗运动不能区分的行为:“失之毫厘,差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性,使得确定论系统的长时间行为必须借助概率论方法描述,这就是混沌。

[5]程极泰给非线性动力学混沌定义为:(1)混沌是一种确定性现象;(2)混沌是一种强非线性动态;(3)混沌是相对于一些“不动点”、“周期点”的特定形式的一种未定形的交融于特定形式间的无序状态。

[6]陈宁等人认为,如果一个系统:(1)有对初始条件的敏感依赖性;(2)是拓扑传递的;(3)在出现混沌的区域内有稠密周期点,那么这个系统就是混沌。

[7]综上所述,建基于混沌理论的两个非常重要的观点很清晰:(1)混沌是貌似随机性的非周期行为,它可以由确定性产生;(2)非线性问题将被视为非线性问题而不是作为简单线性问题加以处理。

[8]这几个重要思想给我们关于混沌理论的认识论方法论研究提供重要依据。

二、非线性动力学混沌的细致分类 现在不仅可以对平衡态热力学混沌(无序)与非线性动力学混沌之间做出区分,而且能够对非平衡态的非线性动力学混沌再做更细致的区分。

1.时间混沌和空间混沌A.A.Tsonis对混沌的时间和空间行为做了划分,它把混沌对初始条件的敏感依赖性细致划分为两种依赖性———时间和空间条件的依赖性,并且在研究上给出了低维动力系统的时间混沌和空间混沌的定义:时间混沌即系统状态具有初始条件敏感性;空间混沌即系统状态具有边界条件敏感性。

[9]2.完全混沌和有限混沌E.N.洛伦兹把混沌分成了完全混沌和有限混沌两种。

认为混沌是表征一个动力系统的特性,如果在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性,即所谓完全混沌;如果在该系统中只有某些轨道是非周期的,但大多数轨道是周期的或冷周期的,即有限混沌。

[10]3.强(或完全)混沌和弱混沌程极泰把混沌称为强非线性混沌,实际上是指洛伦兹意义的完全混沌。

而所谓强混沌和弱混沌是按照有无一个时间尺度从而是否可以对系统的演化行为做出预测来划分的。

Per Bak等人认为强混沌即存在一个时间尺度,一旦超越这个尺度,系统演化就不可预测;而弱混沌则不存在这样一个尺度,它可以进行长期预报。

[11]这样一个区分就使得我们在本文开始时关于未来预测的话题变得稍稍轻松些了。

因为像湍流都不是强混沌,而科学家已经发现,目前所找到的自组织的临界现象都是弱混沌的,所以看来起来自然界存在着大量的弱混沌现象。

而弱混沌是可以长期预测的。

上面的区分,严格地说,是指在混沌区内,强混沌区域不可预测,而弱混沌区的大部分可以预测。

三、混沌所具有的特性及判别混沌的方法 混沌有哪些特性,如何根据混沌的特性寻找和判别混沌呢?有的学者认为,混沌所必须具备的两个主要特征73非线性动力学混沌理论方法及其意义是:(1)对于某些参量值,在几乎所有的初始条件下,都将产生非周期动力学过程;(2)随着时间的推移,任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化,即存在对初始条件的敏感依赖性。

[12]这两个特性可能是非线性混沌最具特点的性质。

对这两个特性的描述或判别证据,有的学者给出描述混沌的4个基本判断尺度:1.混沌(在存在数学方程可数学分析的情况下)存在的必要条件是存在正李亚普诺夫特征指数(Liapunov characteristic exponents,用来刻画运动轨迹收敛或发散的速率)。

以洛伦兹吸引子为例,它的三维相空间的吸引子的李亚普诺夫特征指数谱为(2.16;0.00;-32.4),在信息论意义上,它意味着如果一个初始条件在每个坐标方向用16位来描述,那么每秒2.16位这个正的李亚普诺夫特征指数指,系统状态的所有信息大约在8秒(即大约16个平均轨迹周期)以后将全部丢失,除非该轨迹仍然留在吸引子内部。

如果在临近于信息完全丢失时出现某一扰动,那么每秒-32.4位的负的李亚普诺夫特征指数意味着轨迹大约在1/16秒(即轨迹平均周期的1/8)以内返回吸引子(对16位的分辩率而言)。

[13]2.刻画系统在相空间中运动或结构复杂性的维数一般为分数维,表明混沌存在分形结构。

分形存在意味着混沌内部存在自相似的结构,这同时表明,混沌内部具有精细的周期结构。

关于此点具有方法的可操作性。

不管我们是否可以得到一个混沌系统或混沌运动的维数刻画,在直观上,分形与整形是可以区分而且容易区分的。

3.用来反映动力学系统非线性状况、复杂性程度和运动不稳定性的拓扑熵(topological entro-py)非负。

4.混沌运动的功率谱连续,类似白噪声。

于是在判定力学模型、物理过程等具体系统是否存在混沌性态时,人们往往根据以上判据采取以下方法研究混沌。

[14](1)通过数值计算,观察系统的相图结构;(2)计算李亚普诺夫指数,若存在正的李亚普诺夫指数,则认为系统是混沌的;(3)计算拓扑熵或测度熵,若拓扑熵或测度熵大于零,则认为系统是混沌的;(4)计算容量维或豪斯道夫维数,若维数为分数,则认为系统是混沌的;(5)分析功率谱,若功率谱是连续的,则认为系统是混沌的。

以上在系统可以描述或表达为一个(或一组)微分方程时,是极其有效的方法。

但是系统不能用微分方程表达时,如何判断系统有混沌运动或系统就是某种混沌系统呢?郝柏林先生提出在尚未找到混沌的统一而严格的定义的情况下,可以从如下情况对混沌系统进行判别。

[15]一个确定性系统在没有外部随机因素影响的情况下出现下列现象:(1)系统的运动状态无规律而复杂,看上去与随机运动类似;(2)系统的输出单个地看敏感地依赖于初始条件;(3)系统的某些整体特征(如,正的李亚普诺夫指数,或正的[拓扑]熵),或分数维的吸引子,等)与初始条件的选择关系不大,则称此系统是混沌的。

以上三条中,可以概括为(1)貌似随机性或非周期性;(2)单轨敏感依赖性;(3)整体不敏感性。

可以成为判断混沌征兆的“现象学”方法。

另外,在对混沌无法以定量方式进行研究时,也可以通过区别随机噪声和确定混沌,研究混沌所具有的一般特性来判断系统是否是混沌的。

确定性混沌的一般特性有以下4点:[16]1.确定性。

产生非线性混沌的系统是确定性系统,如果可用方程描述,那么动力学方程是确定性方程。

吕埃尔认为,混沌也可以称为确定性的噪声,即其非规则振荡运动被观察显现出嘈杂的噪声行为,而产生它们的是确定性的机制。

[17]2.非线性。

有非线性不一定产生混沌,但是没有非线性则根本不可能产生混沌。

因此我们才把混沌称为非线性混沌。

3.对初始条件的极端敏感依赖性。

混沌的一个主要特征是,动力学特性对初始条件有敏感依赖性。

这意味着虽然理论上应当有可能预测作为时间函数的动力学特性,可实际上却做不到,因为给定初始条件时出现的任何偏差(不管多小),都会产生在将来某个时刻错误的预测。