11. 设 i 为虚数单位,给定复数 z (1 i)2 ，则 z 的虚部为_______；模为________. 2i
12. 二项式 ( x 1 )6 的展开式中,常数项为________；有理项共有______项. x
13. 已知直线 l : 2mx (1 m2 ) y m 1 0 ,到当实数 m 变化时,原点 O 到直线 l 距离的最
鄞州中学 2019—2020 学年第二学期期初考试高三数学试卷
参考公式：
若事件 A, B 互斥，则 P( A B) P( A) P(B)
若事件 A, B 相互独立，则
P( AB) P( A)P(B)
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
（Ⅲ）证明： 2021 2022 2023 2024 4068 2600 .
2020 2020 2020 2020
2020
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鄞州中学 2019—2020 学年第二学期期初考试
高三数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有
N*
.
21.
（15 分）（Ⅰ）由题意知：
c a
1 2
，∴ a
2c,b2
a2
c2 ，∴ b
3c .
设 △PF1F2 的内切圆半径为 r ，则
SPF1F2
1 2
PF1 PF2 F1F2
r 1 (2a 2c) r (a c) r ， 2
3
故当 △PF1F2 面积最大时， r 最大，即 P 点位于椭圆短轴顶点时 r 3 ， 3
3 2 3 sin(B ) 6
锐角三角形且角A 3
B
（
，
），当B
时，a
b
c最大为3
3
62
3
ABC周长最大值为3 3
19. （15 分）
(Ⅰ)如图所示，延长 AA1, BB1,CC1, DD1, EF 交于点 P ,
由题意得 PA PB 2 ,取 AD 中点 M ,连接 PM , EM , 则 AD PM , AD ME ，又 PM ME M , 所以 AD 平面 PME ，又 EF 平面 PME ， 所以 AD EF ；
（Ⅰ）证明：
an n
1
1
为常数列,并求
an
；
（Ⅱ）令 bn
a2n
sin
πan 2
,求数列{bn} 的前 n
项和 Tn .
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21.
（15
分）已知
F1 ,
F2
分别为椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点,离心率为 1 2
,P
是椭圆上异于左右顶点的一动点,已知 △F1PF2 的内切圆半径的最大值为
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6. 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称．若当 0 x 2
时, f (x) x 1 ,则 f (2019) f (2020)
A. 0
B.1
C. 2
D. 4
7. 已知 A, B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个, A 盒中有 m 个 红
22 23 24 25 2n 2n1 22 24 2n 4 (2n 1) ， 3
②当 n
2k
1, k
N*
时， Tn
Tn1
bn1
4 (2n1 3
1) (2n2
1)
2n2 3
7
，
综上, Tn
4
3
(2n 2n
1),
2 7 3
n 2k, ,n 2k
k 1,
N* k
大值为________；平面内所有恒不在 l 上的点 (x, y) 所形成的图形面积为________.
14. 在 △ABC 中, AB 2 3, AC 4，AD 13，D 为线段 BC 的中点,则 BC ______，
S△ABC _______.
15. 已知抛物线 E ： y2 4x 和直线 l ： x y 4 0 , P 是直线上 l 一点,过点 P 做抛物线的 两条切线,切点分别为 A, B , C 是抛物线上异于 A, B 的任一点,抛物线在 C 处的切线与 PA, PB 分别交于 M , N ,则 △PMN 外接圆面积的最小值为______.
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期及 f (x) 1 的解集； 2
（Ⅱ）锐角 △ABC 中, f ( A π ) 2 6 ,边 BC 3 ,求 △ABC 周长最大值.
28
4
19. （15 分）如图，在四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中,底面是正方形,且 AD 2 AA1 2 A1D1
x k ,k Z 28
f
(x)
1 2
的解集是x
x
k 2
8
,
k
Z
（Ⅱ） f ( A ) 2 6 ， sin A 3 A
28
4
2
3
a b c 2 sin A sin B sin C
1
a b c 3 2sin B 2sin C 3 2sin B 2sin( 2 B) 3
16. 已知平面向量 a , b 满足 | a | 1 , 4 a b 2 | a b | ,则 | a b | 的取值范围是________.
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17. 已知 m, n R，m < n ,函数 f x max x t 2 x R （其中 max 表示对于 x R ,
x 0
A. 4
B. 2
C. 0
D. 2
4. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
A. 2
B. 4
C. 8
D. 3
3
3
2
2
2
1
第 3 题图
5. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 0 ”是“ S99 0 ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
率 Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2,, n)
台体的体积公式 V
1 3
(
S1
S1S2 S2 )h
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积，h 表
示台体的高
柱体的体积公式V Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体
的高
锥体的体积公式V 1 Sh 3
mt n
mt n
当 t m, n 时表达式 x t 2 的最大值）,则 f x 的最小值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （14 分）已知 a (sin x,cos x) , b (sin x 2cos x,sin x) ,令 f (x) a b .
(Ⅱ)连接 AC 交 ME 于 O 点,连接 C1O ，
则
C1O
//
PA
且
C1O
1 2
PA
，
所以直线 C1O 与平面 BCC1B1 所成角和直线 AA1 与平面 BCC1B1 所成角相等， 由(Ⅰ)得 AD 平面 PME ，又 BC // AD ，所以 BC 平面 PME ,
又 BC 平面 BCC1B1 ，所以平面 BCC1B1 平面 PME ，
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （14 分）（Ⅰ）
f (x) a b sin 2 x 2sin x cos x sin x cos x
1 2 sin(2x )
22
4
T , f (x) 1 2
sin（2x ) 0 4
球与10 m 个白球, B 盒中有10 m 个红球与 m 个白球( 0 m 10 ),若从 A, B 盒中各取
一个球, ξ 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 Dξ 取到最大值时, m 的值为
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
8. 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 点 P 是 正 方 体 棱 上 的 一 点 , 若 满 足
OC1H
OH OC1
3 13 26
，
所以直线
AA1 与平面
BCC1B1
所成角的正弦值为
3 13 26
.
20. （15 分）(Ⅰ)因为 2Sn (n 2)(an 1) ……①，
2
当 n 2 时， 2Sn1 (n 1)(an1 1) ……②， 1 -②得， 2an (n 2)an (n 1)an1 1，即 nan (n 1)an1 1，
其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体
的高
球的表面积公式 S 4 R2 球的体积公式V 4 R3
3 其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U {2,1,0,1,2,3} ,集合 A {x | x 2, x N} , B {1,2} 则 CU ( A B) =
2DD1
2
,点
E,
F
分别为棱
BC,
B1C1
的中点,二面角
A1
-
AD
-
B
的平面角大小为
5π 6
.
（Ⅰ）证明： AD EF ；
（Ⅱ）求直线 AA1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值.
20. （15 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn (n 2)(an 1), n N* .