赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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）物资调运问题摘要：随着社会不断发展，物资调运的重要性不断凸显。
为此，本文引入某地区三家物资生产厂与八个存储仓库的物资调运问题作为范例进行研究，以求解决类似的物资调运问题。
首先，本文确定了物资生产厂与存储仓库的供求平衡关系，引入SNA-社会关系网络的相关理论规划出成本最低的运输路线。
然后，设定相关必要的约束条件，建立线性规划模型，策划出合理的存储方案。
最后，本文加入新的约束条件，以及改变供求关系，而模型均给出相对合理的方案，体现出较强的普适性。
故通过本文的有关模型，物资调运问题可以得到初步解决，调运成本大大缩减，利益最大化得以实现。
关键词：线性规划；平衡模型；SNA-社会关系网络1、问题重述某地区有甲、乙、丙三家物资生产厂负责供应该地a,b,c,d,e,f,g,h八个物资存储仓库。
为了节省成本，保证物资正常存储，本文需要解决如下三个问题：1、在无其他条件约束下，设计一种合理的物资存储运输方案；2、加入“每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%”这一条件，重新设计运输方案。
3、为生产厂家设计增产方案以满足每个存储仓库的需求，并设计运输方案使总运费最少。
2、问题分析1、首先需要确定物资生产厂与存储仓库的供求平衡关系。
然后，由于最优运输方案只需要保证运输成本最优与存储量最优，且二者是相互独立的，故可以分别建立对应的线性规划模型求解。
2、加入“每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%这一条件”，就需要在问题一的方案上增加相关约束条件。
3、增产方案需要通过在问题一的方案上增加未知量改变供求关系；运输方案仍延续问题一的思路。
3、符号说明a各厂对a存储仓库运输量ib各厂对b存储仓库运输量ic各厂对c存储仓库运输量id各厂对d存储仓库运输量ie各厂对e存储仓库运输量if各厂对f存储仓库运输量ig各厂对g存储仓库运输量ih各厂对h存储仓库运输量iP生产量N需求量S方案总成本M 违约总金额X 甲物资生产厂增产后的生产量Y 乙物资生产厂增产后的生产量Z丙物资生产厂增产后的生产量4、问题假设假设1：不考虑物资在生产运输过程中的损耗。
假设2：不考虑时间、空间等无关因素的影响。
假设3：设定物资运输车辆的单程承载能力是无穷大。
假设4：忽略除运输费用、违约金外的成本。
5、模型建立及求解5.1最优物资存储运输模型5.1.1物资生产厂与存储仓库的供求平衡模型不同的供求关系会直接影响仓库存储方案的设计，故首先建立供求平衡模型：供求平衡：N P =供大于求：N P ≥供不应求：NP ≤问题中550530=≤=N P ，所以可知供不应求，需要考虑支付相关违约金。
5.1.2最优运输模型由于选择不同路线会导致运输成本的不同，所以我们需要从所有可选方案中选择出运输成本最少的一条路线。
在此我们将使用SNA-社会关系网络相关理论，通过igraph 在R 上的应用实现最优路线的选取。
例如，对于d →甲，经过适当数据处理我们可以得到如下最优路线（其中A 是物资生产厂，i B 与i C 是有关节点，D 为存储仓库d）：图1甲→d最优路线规划重复上述方法，本文最终确定三家物资生产厂到各仓库的最短路径规划如下：图2生产厂家与存储仓库的最优运输路线网络图通过上图，可整理得到如下各厂家到物资存储仓库的最低运输成本：表1各生产厂家到各存储仓库的最低运输成本表（单位：元/吨）5.1.2最优存储模型ab c d e f g h 合计甲1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h 200乙2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h 170丙3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h 160表2各生产厂家在各存储仓库的存储表分析已有数据，可以确定在不增加其他约束条件的情况下，各生产厂家在各存储仓库的存储关系如上表所示。
总费用的计算公式如下：MH h G g F f E e D d C c B b A a S i i i i i i i i i i i i i i i i i +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=)(31其中，i i H A 为各生产厂家到各存储仓库的最低运输成本。
综合上述结论，可以列出如下条件进行线性规划：目标函数：MH h G g F f E e D d C c B b A a S Min i i i i i i i i i i i i i i i i i +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=)(:31约束条件：ab c d e f g h 甲488191162220乙14771612162317丙20191114615510⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++≤≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========160170200809040100703560753332221113131313131313131h b a h b a h b a h g f e d c b a i i i i i i i i i i i i i i i i 求出最优解如下：a b c d e f g h 合计甲75000854000200乙06035705000170丙00001007080160表3各生产厂家在各存储仓库的最优存储表5.1.3最优物资存储运输方案综合上述模型求解，现给出最优物资存储运输方案如下：甲工厂：运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂：运往b 仓库60吨，运往c 仓库35吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库5吨；丙工厂：运往e 仓库10吨，运往g 仓库70吨，运往h 仓库80吨。
总费用为5530元5.2在特定条件下的物资存储运输方案若规定每个存储仓库的短缺量不能超过需求量的20%，需要在现有模型的基础上增加一组约束条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥⨯≥∑∑∑∑∑∑∑∑========3131313131311318.0808.0908.0408.01008.07050358.0608.075i ii i i i i i i i i i i ii i h g f e d c b a 求解模型可得最优方案如下：甲工厂:运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂:运往b 仓库60吨，运往c 仓库33吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库7吨；丙工厂：运往e 仓库8吨，运往g 仓库72吨，运往h 仓库80吨。
总费用为5530元5.3最优增产运输模型5.3.1优化物资生产厂与存储仓库的供求平衡模型根据题目的要求，物资生产厂与存储仓库的供求关系需要保持平衡，所以甲、乙、丙三家物资生产厂的生产量需要进行更改，本文用新的变量X，Y，Z 刻画它们。
此时，X,Y,Z 应该满足：ZY X P ++=NP =5.3.2最优运输模型由于供求关系保持平衡，所以改变费用计算公式：)(311i i i i i i i i i i i i i i i i i H h G g F f E e D d C c B b A a S ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=显然，公式中的1S 即是运输费用，因此可以建立最优运输模型。
列出下表：ab c d e f g h 合计甲1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h X 乙2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h Y 丙3a 3b 3c 3d 3e 3f 3g 3h Z表4供求平衡状态下各生产厂家在各存储仓库的存储表通过上表我们可以列出如下约束条件，进行线性规划：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥========∑∑∑∑∑∑∑∑========160170200809040100703560753131313131313131Z Y X h g f e d c b a i i i ii i i i i i i i i ii i 求解模型可得最优增产运输方案如下：甲工厂：增产0吨，运往a 仓库75吨，运往e 仓库85吨，运往f 仓库40吨；乙工厂：增产0吨，运往b 仓库60吨，运往c 仓库35吨，运往d 仓库70吨，运往e 仓库5吨；丙工厂：增产20吨，运往e 仓库10吨，运往g 仓库90吨，运往h 仓库80吨。
运输路径维持模型一的最优路径，运输费用为4630元.6、模型的检验与分析6.1最优运输模型的检验多次代入新的情况进行检验比对，所得结果均符合设定的最佳结果，故模型是具有一定的科学性与可靠性的。
6.2最优存储模型的检验通过人为的检索比对，所得结果均符合设定的最佳结果，故模型是具有一定的科学性与可靠性的。
7、模型的评价与推广7.1优点1、使用了SNA-社会关系网络的相关理论求最优运输路线，操作简单，可视化程度较强；2、采用的线性规划模型普适性强，可以根据不同情况进行调整，算法简便可靠性高；3、本文所建模型有较为成熟的理论作为依据，可信度、实用性高。
7.2缺点本文所建模型仅以成本最少为目标进行规划的，所以不适用于灾难应急物资运输、物流配送等特殊类型的物资调运问题，具有一定的局限性。
7.3模型的推广在现实生活中，产销不平衡运输问题普遍存在，而文中所示的线性规划法在求解此类问题上会取得很好效果，可以在一定程度上提高物资调运的经济效益。