第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰C.2 C 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2π D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()x y z ds ∑++=⎰⎰ D B. π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a π B. 2a π C. 32a π D. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155-9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21； C. ⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-Ly dy x e ydx )(2-2为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 10．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ 。
12、设L 为222x y a +=的正向，则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π。
三、计算题 1．L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =及x 轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01y x =≤≤。
则原式＝OA⎰＋AB⎰＋OB⎰＝0＋40ed πθ⎰＋1x e dx ⎰＝2(1)4e e π-+ ＃2．[ln(Ly xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界。
解：利用格林公式，P =[ln(Q y xy x =+，则P y∂=∂2Q y x ∂=∂ 故原式＝()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3．22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。
解：L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。
故原式＝22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - ＃4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积。
解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。
故所求面积＝D =D2016d πθπ==⎰⎰＃ 5、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰，其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。
解：添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D ，利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂，cos x Q e y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰＝22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰＝20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰＝22m a π ＃6．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，t 从2π变化到0。
于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰＝43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByz dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。
解：记1∑为该表面在XOY 平面内的部分，2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在XOZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。
1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向，我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰＝1(1)z dxdy ∑+⎰⎰＝010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理，21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰， 由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰， 故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8．计算曲面积分：()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧。
解：利用高斯公式，所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I=⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass 公式得:I=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)( =81＃ 10．计算I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB 解：直线段AB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t 从1变到0， 所以：I=⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233＝3221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰＝48787013-=⎰dt t ＃ 11. 计算曲线积分I=⎰⋂-+-AMO xxdy y e dx y y e,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周ax y x =+22解：在x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA 上, ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由Green 公式得:⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12. 计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是z=2)(22y x +与z=322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程:x=cost, y=sint, z=2 t: 0π2→ 于是: dz y dy x dx z L 333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43 另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则：2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S 的面积I 解：S 在xoy 平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyI=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3＝⎰⎰-10103xdy dx ＝23)1(31=-⎰dx x ＃ 14. 计算曲线积分⎰+++-Ly x dyy x dx y x 22)()(其中L 是沿着圆1)1()1(22=-+-y x 从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设22),(yx y x y x P +-=， 22),(yx y x y x Q ++=当022≠+y x 时，22222)(2y x xyx y x Q y P +--=∂∂=∂∂故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：⎰+++-Lyx dyy x dx y x 22)()(=⎰→+++-AByx dyy x dx y x 22)()(=⎰+-22)11(dx x x =21ln5-arctan2 ＃ 15. 确定λ的值，使曲线积分()()2124d 62d Cxxy x x y y y λλ-++-⎰在XoY 平面上与路径无关。