( 7), 可先固定 y, 对 x 构造 m 个最小二乘多项式:
p+ 1
∑ A j ( x ) = λk jHk ( x ) ( j = 1, 2, …, m )
( 8)
k= 1
其中 Hk ( x ) ( k= 1, 2, … , p+ 1)为正交多项式。根据最小二乘原理, 有 λ*kj ( k= 1, 2, … , p+
由图 3可知, W H ( x, y )和 W B ( x, y )曲面沿 x 分布两头较平, 中间起伏较大, 同时沿 等开度线的分布也不均匀, 曲面形状不规则, 而这种不规则程度和比转速 ns 有关 [ 7]。就某
些起伏较大的全特性曲线, 为提高拟合精度可适当增大 p 和 q值, 同时分区域拟合曲面方 程。
本文从实际出发, 利用可逆机组全特性实测资料, 在 S ute r曲线的基础上, 将全特性 曲线表示为以导叶开度 y 和相对流动角 x 为自变量的曲面函数, 这样既保留了 Su ter曲 线的优点, 又解决了插值问题, 为过渡过程计算提供一种方便适用, 且精度高的全特性曲 线处理方法。
本文于 1999年 9月 24日收到。
线的分布极不均匀, 大开度时曲线过密, 小开度时过稀, 从而使插值计算产生较大的误差, 同时, 在曲线的两头仍出现交叉和重叠现象, 对工况确定和插值计算极为不利。国内外学 者在 S ute r-fo rm 曲线的基础上进行变换 [3～ 6 ], 使曲线的某些缺陷得到了部分改善, 但仍没 有从根本上解决重叠和不均匀性问题。
j= 1 i= 1
p+ 1 q+ 1
∑ ∑ _ krHk ( x )Kr ( y ) ]2最小, 对 _ kr求导并令导数为零, 可得到 ( p+ q+ 2)个联立方程, 从 k= 1 r= 1
而解得:
72
水 力 发 电 学 报
_ kr =
mn
∑ ∑ Hk ( x i )Kr ( y j )W H ( x i, yj ) j= 1 i= 1 mn ∑ ∑ H2k ( x i )K2r ( yj ) j= 1 i= 1
三、可逆式水泵水轮机全特性曲线处理新方法
无论是以 Q′1～ n′1、M ′1～ n′1表示的全特性曲线, 还是 Su te r曲线, 它们出现交叉和重 叠的根本原因, 是这些曲线都是以二维的形式表示的, 导叶开度仅作为参变量。由于等开
度曲线的相似性及某些区域 (曲线两边 )性能参数随导叶开度变化不大, 势必导致局部交 叉和重叠。因此, 要根本消除交叉和重叠现象, 只有改变曲线的表现形式。为此本文把以 y 为参变量的二维曲线转换为以相对流动角 x 和导叶开度 y 为自变量的三维曲面形式。由 于 Su ter曲线为无因次型且有效地解决了全特性曲线的“ S”型部分, 本文以 Su te r曲线为 基础对 W H ( x )和 W B ( x )进行曲面拟合。图 3为由图 2获得的水泵水轮机全特性曲线三维 曲面图。 3. 1 WH ( x, y )和 WB ( x, y )的矩形域曲面拟合数学模型
关键词 可逆式 水泵水轮机 全特性 曲线 实例
一、引 言
抽水蓄能电站因工况变换频繁, 其过渡过程计算对其安全可靠运行关系重大。在过渡 过程计算中, 需要频繁利用可逆式水泵水轮机的全特性曲线以求机组的瞬时参数。通常给 定的全特性曲线 (如图 1) [1]在水轮机飞逸工况和制动工况区域出现“S”型, 在水泵工况区 交叉和重叠, 如直接利用该曲线进行插值计算会带来较大的误差, 且由于多值性, 可能使 插值无法进行。因此, 可逆机组全特性曲线的处理成为直接影响到抽水蓄能电站过渡过程 计算精度和计算量的关键问题, 对此, 国内外学者做了大量的研究工作, 也得出了一些有 意义的成果, 但它们大多只是在全特性曲线某些局部形状方面有所改善, 而没有解决插值 问题。由于抽水蓄能电站工况调节的需要, 导叶调节频繁, 且调节范围较大, 而通常给出的 全特性曲线的条数 (等开度线 )有限, 故在计算过程中必须频繁在等开度线间插值, 以求得 可逆机组的各瞬时参数。以往各种全特性曲线都是以开度 y 为参变量的等开度曲线, 等开 度曲线间的插值只能是线性的, 且有些处理后的曲线存在交叉和重叠, 插值非常困难, 精 度也没有保证。
正交多项式 Hk ( x )和 Kr ( y )均可由 F o r th 递推法生成, 最终得到的似合正交多项式:
p+ 1 q+ 1
∑ ∑ W H (x, y ) =
_ krHk ( x )Kr ( y )
k= 1 r= 1
将式 ( 12)转换为标准多项式就得到式 ( 7)。实测值 W H ( x i, yj )的拟合误差为:
n
p+ 1
∑ ∑ 1)使剩余平方和最小, 即
W H ( xi, y j ) - λ*kj Hk ( x j ) 2为最小。对 λ*kj 求导并取导数为
i= 1
k= 1
零可得 p 个联立方程, 解得:
n
∑ Hk ( x i )W H ( xi, yj )
λ*kj = i= 1
n
( 9)
∑ Hk2 ( x i )
W B (x )=
U T2 + v2
( 6)
x = c+
a rctg
v T
由式 ( 6)以导叶开度为参数可以由图 1得到可逆式水泵水轮机的全特性 Su te r曲线 (如图 2)。
( a)W H 曲线
( b)W B 曲线
图 2 Su ter-fo rm 法转换后的 W H 、W B 曲线
比较图 1和图 2可以看到, 经 Su ter-fo rm 转换过的全特性曲线, 原曲线两边被相位拉 平, 并有效地消除了多值性给插值计算带来的困难。但 Su ter曲线仍存在缺陷, 其等开度
2000年 第 3期
水 力 发 电 学 报 JOU RNA L O F HY DRO E LECT R IC EN G IN EER ING
总第 70期
可逆式水泵水轮机全特性曲线处理新方法
王林锁 索丽生 刘德有
(河海大学水利水电工程学院 南京 210098)
提 要
在 Su te r全性能曲线的基础上, 将可逆式水泵水轮 机的全特性曲线表示 为以相对流动角 x 和导叶开度 y 为自变量的曲面函数, 用矩形域最小二乘曲面拟合数学模型 和计算机仿真拟 合曲面 方程, 并提出了实 用可靠的 曲面分层拟 合方法 计算任 一导叶 开度和相 对流动 角下的 W H ( x、 y )和 W B ( x、y )值, 为抽水蓄能电站过渡过程计算提供了一 种新的全特性曲线处理方 法。
WH ( 1, 3)
…
W H ( 2, 1)
WH ( 2, 2
WH ( 2, 3)
…
( 7)
ym WH ( 1, m ) WH ( 2, m )
xn
W H (n, 1)
W H ( n, 2)
WH (n, 3)
…
WH (n, m )
其中, p、 q分别为拟合多项式中 x 和 y 的最高次数, Tij为回归系数。为获得多项式
由于等开度 Su ter曲线通常是按表 1的形式储存的, 在过渡过程计算中, 就某一已知
开度 y i, 所给定的 x 如正好等于某一 x i, 则 W H ( x, y j )= W H ( x i, y j ); 如 x 在 x i 和 x i+ 1之 间, 则 W H ( x, y j )可由 W H ( x i, yj )和 W H ( xi+ 1, y j )插值求得。如已求得开度 y 和相对流 动角 x, 可用插值法求得各已知开度 y j ( j= 1, 2, … , m )的参数 W H x ( yj ), 再由 W H x ( y j )用
nm
∑ ∑ 总的离差平方和: D T 1=
[W H ( x, y ) - W H ( x i, y j ) ]2
i= 1 j= 1
( 11) ( 12)
nm
∑ ∑ 离差绝对值和: D T 2 =
|W H ( x, y ) - W H ( x i, yj )|
( 13)
i= 1 j= 1
最大离差绝对值: D T 3 =
图 1 可逆式水泵水轮机全特性曲线
根据相似原理, 任意两台几何相似的可逆机组有:
H1 (N2 (N 2 D 2
) 2,
Q21 N 1D
2 1
=
Q
2 2
N
2D
3 2
( 3)
若不考虑因几何尺寸不同而引起的效率变化可得:
T 1N Q 1H
1=
1
T 2N 2 Q2H 2
( 4)
对于同一台水泵水轮机, 由式 ( 3)和 ( 4)得:
71
W H ( x i, y j ) xi
x1
x2
( a)W H ( x, y )曲面
( b)W B ( x, y )曲面
图 3 全特性曲线三维 曲面图
pq
∑ ∑ W H (x, y ) =
Tij xiy j
i= 0 j= 0
表 1 Suter法数值表
xj
y1
y2
y3
…
W H ( 1, 1)
W H ( 1, 2)
对于 Su te r等开度曲线族, 它们的数值可以用表格型式表示 (表 1)。 利用表 1中的数值, 可以在已知矩形区域内 n×m 个网点 ( x i, yj ), ( i= 1, 2, … , n, j= 1, 2, … , m )上的函数 W H ( x i, y j )回归为:
王林锁: 可逆 式水泵水轮机全特性曲线处理新方法
向用最小二乘法拟合成 n 条等流动角曲线方程 W H i ( y ), 在 n 条 W H i ( y )曲线上可求得