例题
• 根据下表求选择题的区分度
考生
选择题得分 卷面总分
A
1 75
B
1 57
C
1 73
D
1 65
E
0 67
F
0
G
1
H
0
I
0
J
1
56 63 61 65 67
二列相关
• 概念及其适用范围
– 当两个变量都是正态连续变量，其中一个变 量被人为地划分成二分变量，表示这两个变 量 之 间 的 相 关 ， 称 为 二 列 相 关 (biserial correlation)。 – 二列相关的使用条件
Z rb 1 Y pq n
点二列相关
• 概念及其适用范围
– 当两个变量其中一个是正态连续性变量，另 一个是真正的二分名义变量，这时，表示这 两个变量之间的相关，称为点二列相关。有 时一个变量虽然并非真正的二分变量，而是 双峰分布的变量，也可以用点二列相关 (point biserial correlation)来表示。
斯皮尔曼等级相关系数的计算
6 D
i 1 2 n 2 i
rS 1
n(n 1)
例题
• 为了研究儿童问题行为与母亲耐心程度 的关系，抽取10个家庭，让儿童与其母 亲一起完成一件需要相互配合才能完成 的工作，观测并纪录他们的表现。下表 为儿童问题程度分数（X）与母亲的不耐 心程度分数（Y），分数值越大表明问题 或不耐心程度越大。请计算两者之间相 关系数？
• （1）两个变量都是连续变量，且总体呈正态分 布，或接近正态分布，至少是单峰对称分布。 • （2）两个变量之间是线性关系 • （3）二分变量是人为划分的，其分界点应尽量 靠近中值。 • （4）样本容量应大于80。
二列相关相关系数的计算
X p X q pq rb St Y
二列相关相关系数的 显著性检验
n
i
X )(Yi Y ) nSX SY
n
• 用原始数据直接计算，则
r
X Y ( X )( Y ) / n
i 1 i i i 1 i i 1 i
n
X
i 1
n
2 i
( X i ) / n
2 i 1
n
Y
i 1
n
2
i
( Yi ) / n
2 i 1
n
例题
点二列相关系数的计算
rpb
X p Xq St
pq
点二列相关系数的显著性检验
t
rpb n 2 1 rpb
2
t
X1 X 2 (n1 1) S (n2 1) S 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
多系列相关
• 概念及其适用范围
– 当两个变量都是正态连续变量，其中一个变 量按不同质被人为地分成多种类别（两类以 上）的正态名义变量。表示正态连续变量与 多类正态名义变量之间的相关，称为多系列 相关(multiserial correlation)。
• 相关系数显著性检验的步骤及方法
– （1）H0：ρ=0； – （2）H0：ρ=ρ0； – （3）H0：ρ1=ρ2
相关系数的显著性检验
• 相关系数显著性检验的步骤及方法 – （1）H0：ρ=0； r r n2
Z 1 r n 1
2
,t
1 r
2
– （2）H0：ρ=ρ0；
zr z Z ( zr z ) n 3 1 n3
• 为研究某测验的预测效度，在被录取的 高考考生中随机抽取10人，测得他们的 能力测验得分（X）,对他们进行跟踪研 究，求得他们大学一、二年级有关科目 平均分数（Y）,求该测验的效度。
X 74 71 80 85 76 77 77 68 74 74 756
Y
82 75 81 89 82 89 88 84 80 87 837
积差相关系数的定义和计算
• 协方差(covariance)是积差相关系数的基 础，它是两个变量离差乘积之和除以n所 得之商。其公式为：
cov
(X
i 1
n
i
X )(Yi Y ) n
积差相关系数的定义和计算
• 积差相关系数是协方差除以两个变量的 标准差。其公式为：
r
n
(X
i 1
相关系数的等距转换及其合并
• 将相关系数 r 转换成等距单位的 Zr 值， 可用费舍的 Zr 转换法，其转换公式为：
1 1 r 1 r Zr ln 或Zr 1.1513lg 2 1 r 1 r
相关系数的等距转换及其合并
• Zr的平均数的计算公式为：
例题
学生 n=6 1 2 3 4 5 6 评定者 1 3 4 2 6 1 5 2 4 3 1 5 2 6 3 2 1 3 6 4 5 4 1 3 4 5 2 6
肯德尔和谐系数的计算
• 无相同等级的情况
rw
R
i 1
n
2 i
( Ri ) / n
2 i 1
n
1 2 3 K ( n n) 12
l
K
T (mi mi ) / 12
3 i 1
例题
教师 n=6 1 2 3 4 5 6 评定者 1 4 1 2.5 6 2.5 5 2 5 1 2 5 3 5 3 3.5 1.5 1.5 5 3.5 6 4 5 2 2 4 2 6 5 4 1 2 5 3 6
答案
• 0.91
肯德尔和谐系数的显著性检验
相关分析
• • • • • 相关的意义 积差相关 等级相关 质与量的相关 品质相关
相关的意义
• 相关(correlation)的概念
– 两个变量之间不精确、不稳定的变化关系称 为相关关系。
• 相关系数(correlation coefficient)
– 用来描述两个变量相互之间变化方向及密切 程度的数字特征量称为相关系数。一般用 r 表示。
– （3）H0：ρ1=ρ2
Z
( zr1 zr2 ) ( z 1 z 2 ) 1 1 n1 3 n2 3
等级相关
• 等级相关是指以等级次序排列或以等级 次序表示的变量之间的相关。 • 斯皮尔曼等级相关 • 肯德尔和谐系数
斯皮尔曼等级相关
• 概念及其适用范围
– 当两个变量值以等级次序排列或以等级次序 表示时，两个相应总体并不一定呈正态分布， 样本容量也不一定大于30，表示这两个变量 之间的相关，称为斯皮尔曼(Spearman)等级 相关(rank correlation coefficient)。
多系列相关系数的计算
rm
[(Y
i 1 K
K
iL
Yi H ) X i ]
2
(YiL Yi ) H St p i 1 i

答案
• 0.693
例题
评定者 1 2 3 4 1 3 4 2 1 2 4 3 1 3
学生 3 2 1 3 4
4 6 5 6 5
5 1 2 4 2
6 5 6 5 6
肯德尔和谐系数的计算
• 有相同等级的情况
2 2 R ( R ) i i /n i 1 i 1 n n
rw
1 2 3 K ( n n) K T j 12 j 1
• 积差相关(Pearson Product Moment Correlation Coefficient, r)的概念
– 当两个变量都是正态连续变量，而且两者之 间呈线性关系，表示这两个变量之间的相关 称为积差相关。
积差相关使用的条件
• 两个变量都是由测量获得的连续性数据； • 两个变量的总体都是呈正态分布，或接近正 态分布，至少是单峰对称分布； • 必须是成对的数据，而且每对数据之间是相 互独立的； • 两个变量之间呈线性关系； • 排除共变因素的影响； • 大样本。
Zr
(n 3)Zr
i 1 i
k
i
(n 3)
i 1 i
k
• 通过 r 与 Zr 转换表，可以找到 r 的平均 数。
相关系数的等距转换及其合并
市别 北京 上海 广州 总和 n 113 552 80 n-3 110 549 77 736
r
r 0.515 0.498 0.563
Zr 0.570 0.546 0.637
X 15 6 12 18 5 19 2 14 9 7

79
62
53
89
81
90
10
82
78
70
答案
• 0.72
斯皮尔曼等级相关系数的 显著性检验
• 与积差相关系数检验方法相同。
肯德尔和谐系数
• 当多个（两个以上）变量值以等级次序 排列或以等级次序表示，这几个变量之 间的一致性程度（即相关），称为肯德 尔和谐系数(Kendall's concordance coefficient, Kendall’s tau)。
正相关
• positive correlation
负相关
• negative correlation
零相关
相关系数
• 相关系数不等距，只能比较，不能直接 作加、减、乘、除。 • 相关不等于因果：相关系数只能描述两 个变量之间的变化方向及密切程度，并 不能揭示二者之间的内在本质联系。
积差相关
(n-3)Zr 62.700 299.754 49.049 411.503
Zr
(n 3) Z (n 3)
0.559, r 0.507
相关系数的显著性检验
• 相关系数的抽样分布
– 只有当总体相关系数为0，或者相关系数接 近于0且样本容量相当大（n>50或n>30）时， r的抽样分布才接近正态分布。