△ 概率(可靠性)大; x 随之增大, 精确度就差.
王 静
第三节 总体均值
μ 的区间估计(单个总体)
x ± Zα
2
σ 2 已知 1,
σ 已知时的大样本下μ的区间估计
2
σ
n
式中,( α)为置信系数; 1 Z α 2为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为α 的Z值. 2
王 静
σ 2 未知,小样本 2,
2009-2010(二)
(教 学 课 件)
王
静
2009.2 – 2009.6
第八章(区间估计)
第八章 参数统计估计
第二节 区间估计的基本问题
( 设总体X的分布函数为 F ( X ;θ ), θ 为未知参数, x1 , x2 ,...xn )为X的 样本,给定 α ∈ (0,1) ,若统计量 θ = θ ( x1 ...., xn ) 和 θ = θ ( x1 ...., xn )
P (θ < θ < θ ) = 1 α
精确度 随机区间
(θ , θ )
总体参数 估计值 误差范围 △:一定倍数的抽样误差 σ △ x = Zα 例如: n 2 Z 抽样误差 σ / n 一定时, α 越大,
2
包含 θ 的概率 的平均长度 E (θ , θ ) (即可靠程度 )越大越好. (误差范围 )越小越好
总体分布未知时的大样本下的区间估计:
S x ± Zα 2 n
式中,( α)为置信水平; 1 Zα 2 为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为 α 的Z值. 2
王 静
第三节 正态总体方差 σ 2 的区间估计(单个总体) 1, μ 已知
正态总体的假设下,利用 χ 分布来构造 σ 2 的置信区间:
满足:P(θ < θ < θ ) = 1 α ,则称区间 (θ , θ ) 为 θ 的置信区间, 且这个置信区间的置信水平为 1 α , θ 和 限,置信下限.
θ
分别为置信上
出错概率
置信区间不含总 体参数的概率
α
P(θ < θ ,θ > θ ) = α
王 静
区间估计
或
估计未知参数所在的可能区间 评价准则 一般形式 置信度 (θ △)< <θ +△) θ ( 随机区间 θ = θ ±△ (θ , θ )
δ x = Zα
2
σ
n
n = Zα 2
σ σ2 n = (Zα )2 2 δx δx
2
王 静
~End~
王 静
�
在小样本的情况下,样本均值的抽样分布依赖于总体的抽样 分布.我们讨论总体服从正态分布的情况.
总体标准差σ已知 → x服从正态分布 小样本n < 30 总体标准差σ未知 → x服从t分布( s σ )
t分布的图形和标准正态分布的图形类似,如下图示:
王 静
标准正态分布 t分布(自由度为20) t分布(自由度为10)
假定总体服从正态分布;
式中,( α)为置信水平;s为修正样本的标准差;tα 2 为在 1 自由度为(n-1)的t分布的右侧尾部中所提供的面积为 α 的t值. 2
王 静
σ 2 未知,大样本 3,
在大多数的情况下,总体的标准差都是未知的.根据抽样 分布定理,在大样本的情况下,可用样本的标准差s作为总体标 准差的点估计值,仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数 的估计.
王 静
找出在限定费用范围 内的最大样本容量
误差边际
E = Zα 2
2
σ
n
即最大允许误差
δx
其计算需要已知 Zα , σ和样本容量n. 若我们选择了置信度 1 α , 就可以确定Z α 2
在已知σ 和Zα 后,我们可以求出误差边际为任何数值时的
2
样本容量n 由此,得到计算必要样本容量的计算公式:
σ 未知时的大样本下的区间估计
式中,(1 α)为置信系数;
S x ± Zα 2 n
பைடு நூலகம்
Z α 2为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为α 的Z值. 2
王 静
4,总体分布未知,大样本
大样本的情况下,由中心极限定理,可用样本的标准差s作为总 体标准差的点估计值,仍然采用上述区间估计的方法进行总体 参数的估计.
0 图2标准正态分布与t分布的比较
王 静
在t分布中,对于给定的置信度,同样可以通过查表找到其对 应的临界值 tα ,利用临界值也可计算区间估计的半径
2
s E = tα (n 1) 2 n
因此,总体均值的区间估计在总体标准差未知的小样本情况 下可采用下式进行: s
x ± tα (n 1)
2
n
2
2 2 nS nS χ 2 ( n) , χ 2 ( n) α α 1 2 2
2 2 (n 1) S (n 1) S χ 2 (n 1) , χ 2 (n 1) α α 1 2 2
王 静
2, μ 未知
第四节 样本容量的确定
找出在规定误差范围内的 最小样本容量 小样本容量节省费 用但调查误差大 调查误差 样本容量 调查费用 大样本容量调查 精度高但费用较 大