第5章 等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ）A 、)(,小于关系：<><<ZB 、)(,小于等于关系：≤>≤<ZC 、,()ZD D <>关系：整除 D 、,()Z M M <>关系：整倍数2、序偶(),A ρ<>⊆必为（ B ）A 、非偏序集B 、偏序集C 、线序集D 、良序集3、设≤小于等于关系：Z 为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ D ）A 、,()R R +<>≤：正实数集 B 、,()Q Q ++<≤>有理数集：正 C 、,()Z Z ++<≤>整数集：正 D 、,()N N <≤>：自然数集4、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）5、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为则它的哈斯图为（ A ）6、某人有三个儿子，组成集合123{ , , }A S S S =，则在A 上的兄弟关系一定不是（ D ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系7、有一个人群集合12{ , ,, }n A P P P =，则在A 上的同事关系一定是（ D ） A 、偏序关系 B 、线序关系 C 、良序关系 D 、等价关系8、设A 为非空集合，则下列A 上的二元关系中为等价关系的是（ D ）A 、空关系B 、全域关系C 、恒等关系D 、上述关系都是9、设{ 1, 2, 3 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、3B 、4C 、5D 、610、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、13B 、14C 、15D 、16注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述．11、设{ 1, 2 }S =，“•”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系 {,,, | ,,,,}R a b c d a b S S c d S S a d b c =<<><>><>∈⨯<>∈⨯•=•， 则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ D ）A 、1B 、2C 、3D 、4提示：记12341,1,1,2,2,1,2,2a a a a =<>=<>=<>=<>，则由R 的关系图易知1234{{},{},{},{}}S S a a a a ⨯=．12、设} 3 ,2 ,1 {=S ，“+”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=，则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ C ）A 、3B 、5C 、7D 、9提示：因a d b c +=+，则a b c d -=-因2,1,0,1,2a b -=--，则等价关系R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为5．二、填充题（每题4分）1、设{ , , , }A a b c d =，其上偏序关系R 的哈斯图为则R = {,,,,,,,,,}A a b a c a d b d c d I <><><><><>．2、设{ , , ,,,, }A a b c d e f g =，偏序集,A R <>的哈斯图为a b c de fg， 则R = {,,,,,,,,,,,,,}A a b a c a d a e a f d f e f I <><><><><><><>．3、偏序集({,}),a b ρ<⊆>的Hass 图为4、对于{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，则偏序集,A <>整除关系的哈斯图为1234681224．5、设{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为1，最小元为1，极大元为24、最大元为24．6、设{ 2,3,4,6,8,12 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为2,3，最小元为无，极大元为8,12，最大元为无，既非极小元也非极大元的是4,6．7、设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有12345,,,,S S S S S ，A 的划分有345S S S ，，．8、设{ 1, 2, 3,4 }A =，{{1},{2,3},{4}}S =为A 的一个分划，则由S 导出的等价关系为 R = {1,1,2,2,2,3,3,2,3,3,4,4}<><><><><><>．提示：R =({1}{1})({2,3}{2,3})({4}{4})⨯⨯⨯．9、非空正整数子集A 上的模k 等价关系R 的秩为k ，/A R ={[0],[1],,[1]}k k k k -．{}b a ,{}a {}b Φ三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合．答：若集合A 上的二元关系R 是自反的，反对称的和传递的，称序偶,A R <>为偏序集； 偏序集中的各元素并非都能比较，若都能比较，偏序集成为线序集；在线序集中，若A 的任一非空子集都有一最小元素，则线序集成为良序集．2、设||5A =，R 是A 的等价关系，由R 诱导的A 的划分块数为3，则不同的R 有多少种？ 答：一个集合上的等价关系数目与该集合的划分数目是一致的，因而，该题只需求出将5个元素的集合分成3份的划分种数即可．如果3份中元素个数分别为3，1，1，则共有35C 种，如果3份中元素个数分别为2，2，1，则共有25C 种，因此，A 上秩为3的等价关系共有35C +2520C =． 3、设A 是实数集合，试判断{,3}R x y x A y A x y =<>∈∧∈∧-=是A 上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？答：都不是；因 ∀x ∈A ，x －x =0≠2，所以<x ,x >∉R ，R 不是自反的．四、画图填表题（每题10分）1、设{ , , ,,}A a b c d e =上的关系R = {,}A c d I <>，画出偏序集,A R <>的哈斯图， 列表给出A 的子集123{ ,, ,,},{ ,},{,,}B a b c d e B c d B c d e ===的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．解：哈斯图如图4.44所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1a ,b ,d ,e a ,b ,c ,e 无 无 无 无 无 无 B 2d c d c d c d c B 3 d ,e c ,e无 无 无 无 无 无 2、设{ , , }A a b c =的幂集()A ρ上的关系⊆= {,()()}x y x A y A x y ρρ<>∈∧∈∧⊆， 画出偏序集(),A ρ<⊆>哈斯图，列表给出()A ρ子1{ ,{},{}}B a b =∅2,{{},{}}B a c =，3{{,},{,,}}B a c a b c =的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界． 解：哈斯图如图4.45所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1⎨a ⎬,⎨b ⎬ ∅ 无 ∅ ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,b ⎬ ∅ ⎨a ,b ⎬ ∅ B 2⎨a ⎬,⎨c ⎬ ⎨a ⎬,⎨c ⎬ 无 无 ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,c ⎬ ∅ ⎨a ,c ⎬ ∅ B 3 ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬3、试填出{1,2,3,4,5}A =上的等价关系R ，其产生划分/{{1,2},{3},{4,5}}A R =,并画出关系图． 解：{1,2}{1,2}{3}{3}{4,5}{4,5}R =⨯⨯⨯其关系图为：六、证明题（每题10分）1、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的拟序关系，则()A r R R I =是A 上的偏序关系．证明：（1）因()A A r R R I I =⊇，有()r R 是自反的；（2）设,(),x y r R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈若,,y x R <>∈由R 的传递性，知,,x x R <>∈与R 的反自反性矛盾，则,,y x R <>∉又,,A y x I <>∉有,()A y x R I r R <>∉=，于是有()r R 是反对称的；（3）由R 的传递性，知R R R ⊆，因()()()()(())(())A A A A A r R r R R I R I R I R R I I ==(()())(()())()()A A A A A R R I R R I I I R R R I r R ==⊆，则()r R 可传递； 综上所述，可证()r R 是A 上的偏序关系．2、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的偏序关系，则A R I -是A 上的拟序关系．证明：（1）()()()A A A A A A R I I R I I R I I R -===∅=∅，则A R I -反自反；（2）设,,,A A x y R I y z R I <>∈-<>∈-，则,,,x y R y z R <>∈<>∈，而,x y y z ≠≠，因R 是传递的，有,x z R <>∈；若x z =，则,,,z y R y z R <>∈<>∈，由R 的反对称性，知y z =，与y z ≠矛盾，于是x z ≠，则,A x z R I <>∈-，有A R I -是传递的； 综上所述，可证A R I -是A 上的拟序关系．3、设R 是A 上的对称和传递关系，证明：若,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，则R 是A 上的等价关系．证明：,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，因R 是对称的，有,b a R <>∈，又因R 是传递的，所以,a a R <>∈，则R 在A 上自反，故R 是A 上的等价关系．4、设R 是S 上的偏序关系，证明：1R -是S 上的偏序关系．证明：（1）x S ∀∈，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，有1,x x R -<>∈，于是，1R -在S 上是自反的；（2）设1,,x y R -<>∈而x y ≠，则,,y x R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,x y R <>∉则1,,y x R -<>∉于是，1R -在S 上是反对称的；（3）设11,,,x y R y z R --<>∈<>∈，则11,,,z y R y x R --<>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,z x R <>∈则1,,x z R -<>∈于是，'R 在'S 上是传递的；综上所述，可证1R -是S 上的偏序关系．（题4在证明中用了定义法）5、设R 是S 上的等价关系，证明：1R -是S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，有S I R ⊆，则11S S I I R --=⊆，有1R -在S 上自反； （2）因R 在S 上的对称性，有1R R -=，则111()R R R ---==，有1R -在S 上对称；（3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆，则1221()R R R R --=⊆=，有1R -在S 上可传递；则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=，有'R 在'S 上是对称的； 综上所述，可证1R -是S 上的等价关系．（题5在证明中用了集合法）6、设,R S 是A 上的偏序关系，证明：R S 是A 上的偏序关系．证明：（1）x A ∀∈，因,R S 在A 上的自反性，则,x x R S <>∈，有R S 在A 上自反；（2）设,,x y R S <>∈而x y ≠，则,,,,x y R x y S <>∈<>∈因,R S 在A 上的反对称性，有,,,,y x R y x S <>∉<>∉则,,y x R S <>∉于是，R S 在A 上是反对称的；（3）设,,,x y R S y z R S <>∈<>∈，则,,,;,,,x y R y z R x y S y z S <>∈<>∈<>∈<>∈，因,R S 在A 上的传递性， 有,,,x z R x z S <>∈<>∈,则,x z R S <>∈，于是，R S 在A 上是传递的； 综上所述，可证R S 是A 上的偏序关系．（题6在证明中用了定义法）7、设,R S 是A 上的等价关系，证明：R S 是A 上的等价关系．证明：（1）因,R S 在A 上自反，有,A A I R I S ⊆⊆，则A I R S ⊆，有R S 在A 上自反；（2）因,R S 在A 上对称，有11,RR S S --==， 则111()R S R S R S ---==，有R S 在A 上对称；（3）因,R S 在A 上传递，有22,R R S S ⊆⊆，则222()(())(())R S R S R R S S RS R S ⊆⊆⊆，有R S 在A 上可传递； 综上所述，可证R S 是A 上的等价关系．（题7在证明中用了集合法）8、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯,证明：如果R 是S 上的偏序关系，那么'R 是'S 上的偏序关系．证明：（1）'x S S ∀∈⊆，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，而,''x x S S <>∈⨯， 有,('')'x x R S S R <>∈⨯=，于是，'R 在'S 上是自反的；（2）设,',x y R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,y x R <>∉ 则,('')',y x R S S R <>∉⨯=于是，'R 在'S 上是反对称的；（3）设,',,'x y R y z R <>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,x z R <>∈而,''x z S S <>∈⨯，则,('')'x z R S S R <>∈⨯=，于是，'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的偏序关系．（题8在证明中用了定义法）9、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯,证明：如果R 是S 上的等价关系，那么'R 是'S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，则S I R ⊆，而'S S ⊆,有'S S I I R ⊆⊆，而'''S I S S ⊆⨯， 有'('')'S I R S S R ⊆⨯=，于是，'R 在'S 上是自反的；（2）因R 在S 上的对称性，有1RR -=，而1('')''S S S S -⨯=⨯， 则1111(')((''))('')'R R S S R S S R ----=⨯=⨯=，有'R 在'S 上是对称的； （3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆， 有2'R R R R ⊆⊆，而2'('')('')''R S S S S S S ⨯⊆⨯=⨯，则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=，有'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的等价关系．（题9在证明中用了集合法）10、若R 是A 上的等价关系，则{,|,(,,)}S a b a b A c A a c R c b R =<>∈∧∃∈<>∈∧<>∈也是A 上的一个等价关系．证明：（1）A a ∈∀，由R 自反，则,,a a R a a R <>∈∧<>∈，S a a >∈∴<,，有S 自反；（2）,a b S ∀<>∈，则c A ∃∈，使,,,,a c R c b R <>∈<>∈由R 在A 上对称，有,,,,b c R c a R <>∈<>∈有,b a S <>∈，知S 对称；（3）若,,,a b S b c S <>∈<>∈，则d A ∃∈，使,,,,a d R d b R <>∈<>∈同时e A ∃∈，使,,,,b e R e c R <>∈<>∈由R 在A 上传递，知,,,,a b R b c R <>∈<>∈有,a c S <>∈，有S 传递；综上所述，可证S 是A 上的等价关系．（题10在证明中用了定义法）六、证明计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a b c d +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[1,3],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b a b a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a b c d c d a b ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈a b c d e f +=+=+则， ,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[1,3]R <>{,,,4}{1,3,2,2,3,1}a b a b A A a b =<><>∈⨯+==<><><>, /{[1,1],[1,2],[1,3],[2,3],[3,3]}R R R R R A A R ⨯=<><><><><>．2、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ c b d a +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e +=++=++++=+++∴则有 a f b e +=+，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,3,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯=-=<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．3、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a d b c =， “” 为普通乘法，证明： R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯=∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈==∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e ===∴则，有 a f b e =，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,2,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯==<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1][1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．4、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，在A 的幂集()A ρ上规定{,|,()(||||}R s t s t A s t ρ=<>∈∧=， 证明：R 是()A ρ上的等价关系，并写出商集()A R ρ．证明：⑴()s A ρ∀∈ ，由于||||s s =，所以R s s >∈<,，即R 自反的；⑵,()s t A ρ∀∈ ，若R t s >∈<,，则||||||||s t t s =⇒=，R s t >∈∴<,，R 是对称的； ⑶,,()s t u A ρ∀∈，若R u t R t s >∈<>∈<,,且，即||||||u t s ==，则,s u R <>∈ 所以R 是传递的；综上得出，R 是()A ρ上的等价关系，(){[],[{1}],[{1,2}],[{1,2,3}],[{1,2,3,4}]}R R R R R A R ρ=∅．。