复旦大学数学分析答案【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】s=txt>一．填空题xln(1?x)=_____x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程x（1）lim（3）设?是锥面(0?z?1)的下侧，则???xdyd?z2ydz?d3x(?1z)d?xdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21??,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____??12?(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在x，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若?x?0，则（）（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a）（c）??d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）1nxf(x,y)dy（b）0f(x,y)dy f(x,y)dx0yf(x,y)dx（d）0（3）若级数?an?1??收敛，则级数（）（a）?an?1?n收敛（b）?(?1)a收敛nnn?1??（c）?anan?1收敛（d）?n?1an?an?1收敛 2n?1（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到?110???第2列上得c，记p??010?，则（）?001???（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）p(a?b)?p(b)2（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布n(?2,?2)，且2tt?1?1p{x??1?1}?py??2?1}，则（）（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2三、简答题（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?1?xy22??1?x?yd（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）证明limxn存在，并求之x??1（ii）?xn?1?xn2计算lim?? x???xn?（3）设函数f(u)在（0，?）内具有二阶导数，且z?f满足等式?2?0 2?x?y（i）f(u)?0 验证f(u)?u（ii）若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意2的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有?lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0（5）已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解?ax?x?3x?bx?134?12（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?at?1?2,?1?x?0??1（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二维随机变?4?0,其他??量(x,y)的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f???1???,0?x?1?(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数（0???1），?0,其他?x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本，记n为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计【篇二：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶ lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0)(??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0)?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0)x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
(4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可知不存在x，使得f(x)??，所以这样的点(a,b)不存在。
3．设f(x)为(??,??)上的可导函数，且在x?0的某个邻域上成立f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。
求曲线y?处的切线方程。
解记f(x)?由limlimf(x)xx?0f(x)在(1,f(1))可得limf(x)??2f(1)?0，即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)，x?0。
?lim8x??(x)xx?0?8与，f(x)xx?0?f(1?sinx)?f(1)sinx??f(1?sinx)?f(1)sinx??lim???3lim??4f(1)???x?0x?0sinxx?sinxx???得到f(1)?2。
于是曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)。
4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。
（见图4.2.5）证设椭圆方程为xa22?yb22?1，a?b?0，焦点坐标为a?b22(?c,0),c?。
假设(x0,y0)为椭圆上任意一点，当y0斜率为tan???bx0ay022?0时结论显然成立。
现设y0?0，则过此点的切线 y0x0?c22，(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?，和此连线与切线夹角的正切为kx0a22?tan?1?tan?1?tan?1tan?。
利用c2?a?b?y0b22?1代入计算，得到y0k?x0?c1?y0?bx0ay0?bx02222?ay0?bx0?cx0b22222222(a?b)x0y0?acy0?ab?cx0b22222cx0y0?acy0?b2cy0。
x0?cay0(x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2? y0x0?c，此连线与切线夹角的正切为tan??tan?21?tan?tan?2??bx0ay0y022?y0x0?cbx02?cx0b?ay0?bx0222222221??2x0?cay0(a?b)x0y0?acy0?cx0b?ab22222cx0y0?acy0?b2cy0?k。
由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。
5．证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三2角形的面积恒为2a。
证假设(x0,y0)为双曲线上任意一点，则x率为yx??y0?a2，过这一点的切线斜a22x0??y0x0，切线方程为y?y0??y0x0(x?x0)，易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。
切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为s?12(2y0)(2x0)?2x0y0?2a2。
6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。
⑴ y⑶ y?|sinx|；⑵ y??cosx；?e?|x|；?f(x)?|sinx|⑷ y?|ln(x?1)|.解（1）对y，当x?0时，f?(0)?lim|sin?x|?|sin0|?x|sin?x|?|sin0|?x?x?0??limsin?x?x?x?sin?x?x?0??1， ??1，f?(0)?lim?x?0??lim?x?0?所以x?0是不可导点。
又由于函数y是周期为?的函数，所有不可导点为x?k? （2）y为x?2k?(k?z)，且f??(k?)??1，?f(x)?f??(k?)?1。
?x2?，由（1）可知不可导点2(k?z)，且经计算得到f??(2k?)???|x|，f??(2k?)?2。
（3）y??f(x)?e不可导点只有x?0，且ef(0)?lim?1?x?0??x??1，f(0)?lim?e?x?1?x?0??x?1。