F
ma
7
三、相对论动能
牛顿力学中：平动动能:
Ek
1 2
m v2
相对论力学：仍用力对粒子做功计算粒子动能的
增E量K，并0v用FE dKr表 示0粒v d子(dm速tv)率d为rv时0v的v动 d能(m，v)
v d(mv) mv dv v vdm mvdv v
2dm
v dv 1 d(v v) 1 dv2 vdv
6
二、狭义相对论力学的基本方程
在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到
的作用力，即：
F
dp
d (mv)
dt dt
m
m0
1 (v / c)2
注意：质量随速度变化。
F
dp
d (mv )
v
dm
m
dv
dt dt
dt dt
力与加速度方向 可以不同。
在经典力学中，人们认为质量是始终保持不
变的恒量。
3） v > c 时，无论m0是否为0，公式中出现虚数，m无 意义。再一次真空中的光速是物体运动的极限速度。
4）当 v c 时，若 m0≠0，则 m 无意义。
所以m0≠0的物体，其速率的最大值只能是接近c， 而不能等于c。
反之，如果物体的速度等于c，则这种物体的静止
质量只能为0，比如已经发现m0=0的粒子有光子、中
16
反应质量亏损 Δm0 (mD mT ) (mHe mn )
0.03111027 (kg)
释放能量 Ek m0c2 2.799 1012 J
1 kg 核燃料释放能量
ΔE 3.35 1014 (J/kg) mD mT
14
五、能量和动量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
C
dt dt
m
经典力学中物体的质量与运动无关
v0
t 0 at
o
t
说明只要时间足够长， v 可超过光速。
这说明牛顿第二定律不满足狭义相对论的假设。 1
再比如动量守恒定律
设在S 系中沿 x 方向 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
由伽里略速度变换
v v u
得 m1(v10 u) m2 (v20 u) m1(v1 u) m2 (v2 u)
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
光子 m0 0, v c p E c mc
光的波粒二象性 E h , p h 普朗克常量
15
例： 设一质子以速度 v 0.80c 运动。 求其总
13
例：在一种热核反应中，各种粒子的静质量如下：
2 1
H
31H
4 2
He
1 0
n
求：反应释放的能量。
氘核
(
2 1
H)
氚核 (31H)
氦核 (42 He)
mD 3.3437 10 27 kg mT 5.0449 10 27 kg
mHe 6.6425 10 27 kg
中子
(
1 0
n)
mn 1.6750 10 27 kg
m
m0
2
1
v2 c2
2
m 2 1
v2 c2
m02
即：m2c2 m2v2 m02c2
8
m2c2 m2v2 m02c2
将 m2c2 m2v2 m02c2两边求微分:
2mc2dm 2mv2dm 2m2vdv 0
即：c2dm v2dm mvdv
EK
v vd(mv)
0
m c2dm
6.5 狭义相对论动力学
按照狭义相对论的相对性原理，一切物理规律
都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不变。一个 正确的力学定律也必须在洛仑兹变换下保持不变。
经典力学的规律在伽利略变换下保持不变，而 在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。
牛顿定律与光速极限的矛盾
物F体在dp恒力d作(m用下) 的a运 动F
v
m0 ─ 粒子静止时的质量（静止质量）
式中v为粒子相对某一参照系的速率。
当 v c 时 m m0
4
明确几点:
m
m0
1）物体质量与速度有关，
1 (v / c)2
m(v) 在不同惯性系中大小不同。
v 0, m m 0 物体相对于惯性系静止时质量最小。 2）低速物体 v c ,m m 0 , 质量不变。
m0
mc 2 m0c2
相对论的动能公式： Ek mc 2 m0c2
m为相对论质量，m0为静止质量。
m
m0
,
1 (v / c)2
EK
m0 1 (v / c)2
c2
m0c2
当 v c 时,
Ek
1 2
m0 v 2
9
相对论的动能公式： Ek mc 2 m0c2
注意：相对论中的动能与牛顿力学中的动能 在形式上完全不同！
静止质量的减少叫质量亏损。
反应前： 核反应中：
静质量
m01
反应后： 静质量 m02
总动能EK1 总动能EK2
能量守恒： m01c2 EK1 m02c2 EK 2
因此：
EK 2 EK1 (m01 m02 )c2
总动能增量
总静止质量的减 小质量亏损
Ek m0c2
核反应中释放的能量相应于 一定的质量亏损。
3
一、相对论质速关系 在牛顿力学中，我们已经定义 pr mvv 为粒子
的动量。在相对论中保留物体的动量的定义，但应 放弃质量与速度无关的观念。
相对论力学：质量与速度有关。(否则动量守恒 定律不能在洛仑兹变换下保持形式不变)。
相对论质量： m m0 1 (v / c)2
质速关系
m ─ 粒子以速率v运动时的质量（运动质量）
四、静能、总能量和质能关系
将 EK mc 2 m0c2改写为：mc 2 m0c 2 Ek
E0 m0c2 为粒子静止时所具有的能量
E mc2 为粒子以速率v运动时的总能量
EK
E E0
物体作为一个整体作机械运动而具 有的能量（平动的能量）；
宏观静止物体的静能包括：物体内部各粒子的运动 及其相互作用的能量。
E (m)c2
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式。 11
相对论质能关系
E mc 2 m0c2 Ek
静能 m0c2 ：物体静止时所具有的能量 .
电子的静质量
m0 0.9111030 kg
电子的静能 m0c2 8.19 1014 J 0.511MeV
能量、动能和动量。
解 质子的静能 E0 m0c2 938MeV
E mc2
m0c2 1 v2
c2
938 (1 0.82 )1 2
MeV
1563MeV
Ek E m0c2 625MeV p mv m0v 6.68 1019 kg m s1
1 v2 c2
也可如此计算
cp E2 (m0c2)2 1250MeV p 1250MeV c
微子等。
5
5）实验证明质速关系是正确的。
比如，测量电子质量的试验。
10 让电子在加速器中加速， 8
测电子的荷质比e/m发现该 6
值随速度增大而减小。
4
21
6）相对论的动量：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
P
mv
m0v
1 (v / c)2
此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
10
相对论质能关系：
E mc 2 m0c2 Ek
质能关系说明了质量和能量是统一的，不可分割。
对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。
质能关系预言：物质的质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是能量的一种储藏 。
物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不
短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。
物体的总能量
若发生变化，必将伴
随相应的质量变化，反之亦然，即：
质子的静质量
m0 1.6731027 kg
质子的静能 m0c2 1.5031010 J 938MeV
1千克的物体所包含的静能 9 1016 J
1千克汽油的燃烧值为 4.6 107 焦耳。
12
对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。但
是系统的动能和静能可以相互转换。静能变了，则 静止质量发生相应的变化。
故
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
可见，在S'系中动量也守恒。 如果用洛仑兹变换
vx
vx 1
u
vxu c2
m1
v10 1
x u v10 xu
c2
m2
v20 1
x u v20 xu
c2
m1
v1x 1
u
v1x u c2
m2
v2x u
1
v2 x u c2
m1v10 x m2v20 x m1v1x m2v2 x S'系中动量不再守恒?！ 2
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。
这就需要寻找一种与狭义相对论一致的新的动 力学规律，这种新的动力学规律应该满足：
（１）它们的定律表达式在洛仑兹变换下应保持不 变，从而能够正确地描述高速运动的规律；
（２）当速度 v << c 时，还要能够很自然地过渡到 经典力学；
（３）相对论中仍然要保留那些质量守恒、动量守 恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。