式中： D h max 4.8 1011 max k
fD (
D
T ＝德拜特征温度
)
D
T
) 3(
T
D
)3 T
0
D
e x x4 dx x 2 (e 1)
＝德拜比热函数
其中：
h x kT
1）当温度较高时，即T﹥﹥θD时，ex=1+x 所以 D 3( ) T 3 TD x 3 dx T ] CV ,m 3R[12( ) D 0 1 x 1 1 D 1 T D 3 ( ) T 3 T 3R[12( ) . 3] 3R D 3 2）当温度很低时，即T﹤﹤θD时，通过里曼函数运算可得
假定m2﹥m1，则该方程的解为
i[t L ( 2 n 1) a ] x Ae 2 n 1 i[t L ( 2 n ) a ] x 2 n Be
2 ( m 1 2k e ) A (2k e cos La) B 0 2 (2k e cos La) A (m2 2k e ) B 0Leabharlann 第一节热学性能的物理基础
热性能的物理本质：晶格热振动（lattice heat vibration）
声子的概念
设原子间以弹性力相联系，等效弹性系数为ke，只考虑相邻 原子的相互作用，根据HOOK定律，可得运动方程为
2 n 1 k e ( x2 n 2 x2 n 2 x2 n 1 ) m1 x 2 n k e ( x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n ) m2 x
1）杜隆-珀替(Dulong-Petit)理论 （元素的热容定律） 恒压下元素的原子热容为25J/(K.mol) 2）柯普定律（化合物的热容定律） 化合物分子热容等于构成该化合物各元素原子热容之和 理论解释：C=Σnici 其中，ni＝化合物中元素i的原子数 ci＝元素 i 的摩尔热容
3）经典理论
按热容定义：1mol单原子固体物质的摩尔定容热容为
CV , m
E (3N AkT ) ( )V [ ]V 3N Ak 3R 25 J /( K .mol ) T T
固体摩尔定容热容是一个与温度无关的常数


杜隆-珀替定律在高温时与实验结果是吻合的，低温时误 差较大 经典的热容理论在低温是不适用的
在II区，理论值较实验值下降过快

实际晶体阵点间互相关联 点阵波的频率有差异
热容的Einstenm模型理论值与实验值的比较
四、德拜模型（Debye model）
假设：晶体中原子有相互作用，把晶体近似为连续介质；晶 体振动具有从0－ν max的频率分布
因此，导出的德拜热容表达式为： CV , m 3Rf D (
2 c p cV V .Vm .T /
式中：
dV V VdT
dV Vdp
容积热膨胀系数，单位：1/K 三向静力压缩系数，单位：m2/N Vm－摩尔容积，单位：m3/mol
二、晶态固体热容的经验定律（experience law） 和经典理论（classical theory）
式中，A、B分别为两类原子的振幅；ω 为角频率； L=2π /λ 为波矢值（波数）
作图如右
显然对于每一个L值，有两支 独立的振动模式ω ＋、ω －， 分别对应根号内取正、负号 时的角频率
ω ＋称为“光学支” ω －称为“声学支”
第二节
材料的热容
一、热容的基本概念
热容：是物体温度升高1K所需要增加的能量
1) 2
式中：NA：阿弗加德罗常数；k：波尔茨曼常数 h: 普朗克常数；νi：谐振子的振动频率
令：
h E k
CV , m 3R(
则：
E
T
E
)
2
eT
E
3Rf E (
2
E
T
)
(e
T
1)
爱因斯坦特征温度
爱因斯坦比热函数
θE
fE (
E
T
)
1）当T﹥﹥θE时；
有：
E
e
略去高次项，得：
比定压热容：加热过程在恒压条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 H 1 cp ( ) p. ( ) p. T m T m
比定容热容：加热过程在恒容条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 E 1 cV ( )V . ( )V . T m T m
恒压条件下：
物体除温度升高外，还要对外做功（膨胀功） 因此：cp﹥cV 根据热力学第二定律
固体中可以用谐振子来代表每个原子在一个自由度的振动； 每个自由度上的平均能量为kT；平均位能和平均动能都为 1/2.kT；一个原子有三个振动自由度，平均动能和位能的总 和就等于3kT
1mol固体中有NA个原子， 总能量：E=3NAkT=3RT
式中： NA：阿弗加德罗常数，6.023×1023/mol k：波尔茨曼常数：1.381×1023J/K R：气体常数：8.314J/(K.mol)
第七章 材料的热学性能
第一节 第二节 第三节 第四节
热学性能的物理基础 材料的热容 材料的热膨胀 材料的热传导
热学性能
热容（thermal content）
热膨胀（thermal expansion） 热传导（heat conductivity）等 本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质关系， 为研究新材料、探索新工艺打下理论基础
NaCl的摩尔热容－温度曲线
三、爱因斯坦模型（Einstein model）
假设：
晶体中每一个原子都是一个独立的振子，原子之间彼此无 关；所有原子都以相同的频率振动；振动能量是量子化的 根据量子力学热容理论得：
h i kT
CV , m
h i 2 3N Ak ( ) kT
e (e
h i kT
T
1 E 2 1 ( ) ........ T 2! T
E
CV , m 3 Re T
E
高温时，爱因斯坦理论与杜-珀定律一致，与实验结果相符
2）当T﹤﹤θE时：低温时
CV , m 3R(
E
T
) 2 .e

E
T
随温度变化的趋势与实验相符，但比实验值更快趋于零 3) 当T→0K时 CV，m= 0 ；与实验相符
Q CT ( )T （ J/K ） T
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同 比热容单位— J/(kg.K) , 摩尔热容单位—J/(mol.K)
平均热容：单位质量的材料从温度T1到T2所吸收的热量的
平均值
Q 1 cJ . T2 T 1 m
当T1→T2 时： 材料的比热容：
Q 1 cZ . T m