a11 所以，系数矩阵为 A a21 a31
则，由（1－39）式决定的正规方程为
a1a1 x a1a2 y a1l a2 a1 x a2 a2 y a2l
其中，
a1a1 a11a11 a21a21 a31a31 52 22 12 30 a1a2 a11a12 a21a22 a31a32 5 a2 a1 a12 a11 a22 a21 a32 a31 3
1
所以， ( AA)

1 AA
A11 A 12
A21 1 1.29 3 A22 29.7 3 30
5 AL 1 5
2 1 0.8 4.1 0.2 0.04 0.3 1 1 2 x y 1 1.29 3 4.1 0.182 ＝ 29.7 3 30 0.04 0.455
1－3 用测量范围为－50～150kPa 的压力传感器测量 140kPa 的压力时， 传感器测得示值为 142kPa， 求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。 解： 已知：
∴
真值 L＝140kPa 测量值 x＝142kPa 测量上限＝150kPa 测量下限＝－50kPa 绝对误差 Δ＝x-L=142-140=2(kPa) 实际相对误差 标称相对误差
1 1 2 a2 a2 a12 a12 a22 a22 a32 a32 1 1.29 5 2
2 2
1 1 2 1 1 3 5 2
a1l a11l1 a21l2 a31l3 5 0.8 2 0.2 1 (0.3) 4.1 a2l a12l1 a22l2 a32l3
A
1 1
2
因为幅值误差限制在±5％以内，即 A 0.95 当 f 100 Hz 时，有
max 0.00052s 。
若用此传感器测量 f 50 Hz 的信号，其幅值误差为：
1－A 1－
相位误差为：
1 1
2
＝1－
1 1＋2 50 Hz 0.00052 s
vi (d 20i d 20 )(mm)
0.016 0.026 －0.004 0.016 0.026 －0.014 －0.104 －0.004 0.026 0.006 0.026 0.016 －0.014 －0.014 －0.004
vi (d 20i d 20 (i 7))(mm)
所以 d 7 为粗大误差数据，应当剔除。然后重新计算平均值和标准偏差。 当 n＝14 时，若取置信概率 P＝0.95，查表可得格拉布斯系数 G＝2.37。 则
G d20 2.37 0.0161 0.0382(mm) vi ，所以其他 14 个测量值中没有坏值。
计算算术平均值的标准偏差
1 1 n
2
2 n 1
2

2
0.97 ，得 1 1.03 n ；
解方程 A( )
1 n

2
2 n
i
15 1
0.0327 mm
d
20
v
i 7
2
i
14 1
0.0161mm
G d20 0.0788(mm)
当 n＝15 时，若取置信概率 P＝0.95，查表可得格拉布斯系数 G＝2.41。 则
G d20 0.0382(mm)
G d20 2.41 0.0327 0.0788(mm) v7 0.104 ，
1
5 其中， AA 1 5 AA
5 2 1 2 1 1 1 2
1 5 3 1 30 2 3 1.29 1
30 3 30 1.29 3 3 29.0 0 3 1.29
t1 t 2 0
dt 2 。 d
当被测介质温度从 25℃突然变化到 300℃时，测温传感器的时间常数 0＝ 120 s ，试确定经过 300s 后的动 态误差。
已知： t1 t2 0 25 (t 0) dt2 ， t1 ， 0 120 s d 300 (t 0)
0.009 0.019 －0.011 0.009 0.019 －0.021 ――― －0.011 0.019 －0.001 0.019 0.009 －0.021 －0.021 －0.011
d 20 120.404mm d 20 (i 7) 120.411mm
d
20
v
i 1
15
2
《传感器原理及工程应用》习题答案
第 1 章 传感与检测技术的理论基础（P26） 1—1：测量的定义？ 答：测量是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。 所以, 测量也就是将被测量与同种性 质的标准量进行比较， 确定被测量对标准量的倍数。 1—2：什么是测量值的绝对误差、相对误差、引用误差？ 答：绝对误差是测量结果与真值之差, 即: 绝对误差=测量值—真值 相对误差是绝对误差与被测量真值之比,常用绝对误差与测量值之比,以百分数表示 , 即: 相对误差=绝对误差/测量值 ×100% 引用误差是绝对误差与量程之比,以百分数表示, 即: 引用误差=绝对误差/量程 ×100%
2
1 0.987 1.3%
arctg 9.28
*2－8 已知某二阶系统传感器的固有频率为 10kHz，阻尼比 ＝0.5 ，若要求传感器输出幅值误差小于 3 ％，则传感器的工作范围应为多少？ 已知 n 2 10kHz ， ＝0.5 ， 1 A 3% 。 求：传感器的工作频率范围。 解： 二阶传感器的幅频特性为： A( )
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
d 20 (mm)
120.42 120.43 120.40 120.42 120.43 120.39 120.30 120.40 120.43 120.41 120.43 120.42 120.39 120.39 120.40
1 1 n
2
2 n
2
。
2
当 0 时， A 1 ，无幅值误差。当 0 时， A 一般不等于 1，即出现幅值误差。 若要求传感器的幅值误差不大于 3％，应满足 0.97 A 1.03 。 解方程 A( )
2

2
1.03 ，得 2 0.25 n ， 3 0.97 n 。
由于 ＝0.5 ，根据二阶传感器的特性曲线可知，上面三个解确定了两个频段，即 0～ 2 和 3 ～ 1 。前者 在特征曲线的谐振峰左侧，后者在特征曲线的谐振峰右侧。对于后者，尽管在该频段内也有幅值误差不大 于 3 ％ ， 但 是 该 频 段 的 相 频 特 性 很 差 而 通 常 不 被 采 用 。 所 以 ， 只 有 0 ～ 2 频 段 为 有 用 频 段 。 由
1 C
当角频率 3 1Hz ，测得电抗 X 3 为 0.3 。 试用最小二乘法求电感 L 、电容 C 的值。 解法 1：
L
1 1 ，设 x L ， y ，则： C C 1 y 5 1 0.2 2 x y 2 0.3 x y 0.8 5 x
所以，
1 1 0.8 0.2 1 (0.3) 0.04 5 2
30 x 3 y 4.1 3 x 1.29 y 0.04 x 0.18 y 0.455
L x 0.182 H
所以， 所以，
C
1 2.2 F y
第 2 章 传感器概述（P38） 2－5 当被测介质温度为 t1，测温传感器示值温度为 t2 时，有下列方程式成立：
5 所以，系数矩阵为 A 2 1
1 5 1 ， 2 1 x y
0.8 直接测得值矩阵为 L 0.2 ， 0.3
ˆ 最小二乘法的最佳估计值矩阵为 X ( AA) AL 。
ˆ 所以 X
所以，
L x 0.182 H
C
解法 2：
1 1 2.2( F ) y 0.455
L
1 1 ，设 x L ， y ，则： C C 1 y 5 1 0.2 2 x y 2 0.3 x y 0.8 5 x 5 a12 a22 2 a32 1 1 5 1 ， 2 1
d
20
d
20
n
20

0.0161 0.0043(mm) 14
3 d 3 0.0043 0.013(mm)
所以，测量结果为： d 20 (120.411 0.013)( mm) 1－14 交流电路的电抗数值方程为
( P 99.73%)
X L
当角频率 1 5 Hz ，测得电抗 X 1 为 0.8 ； 当角频率 2 2 Hz ，测得电抗 X 2 为 0.2 ；
求：t=350s 时， t1 t2 ? 解： 灵敏度 k=1 时，一阶传感器的单位阶跃响应为 y (t ) 1 e
t
。
0
类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为： t2 ( ) 25 (300 25) (1 e 当 350 s 时， t2 25 (300 25) (1 e