第1章二维傅里叶分析第一讲 光学中常用的几种非初等函数 δ函数Ⅰ重要的基本概念和公式 δ函数性质 (1)筛选特性 0000(,)δ(,)d d (,)f x y x x y y x y f x y +∞-∞--=⎰⎰(2)可分离变量 0000δ(,)δ()δ()x x y y x x y y --=--(3)乘法性质 000000(,)δ(,)(,)δ(,)f x y x x y y f x y x x y y --=-- (4)坐标缩放 1δ(.)δ(,)ax by x y ab=(5)积分形式 11δ()cos , δ()d 22i xx xd x eωωωωππ∞∞±-∞-∞==⎰⎰Ⅱ 例题讲解：证明：()x df e x xf j x δπ=⎰∞∞-±2 ()()[]()()()x x f x f f df x f dfx f i x f df e x x x f xx xxxx xf j x x δππππππ===±=∞→∞∞∞-∞∞-±⎰⎰⎰22sin 22cos 22sin 2cos lim 202此证明利用了关系式()()Nx c N x f N sin =； ()()y x f x N N ,lim ∞→=δⅢ 练习题： 一、计算题1. 已知连续函数f (x )， a >0和b >0 。

求出下列函数： (1) ()()()0x ax x f x h -=δ(2) ()()()[]x x comb x f x g 0-=（提出：本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能）第二讲 卷积和相关Ⅰ重要的基本概念和公式1. 卷积定义：设f (x )和h (x )是两个复函数，其卷积定义为：⎰∞∞--=*=ξξξd x h f x h x f x g )()()()()(卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠面积。

2. 相关的定义及其运算性质两个复函数f (x ,y )和h (x ,y )的互相关定义为：()()()()()()fh e x f h x d f x h d f x ξξξξξξ∞∞**-∞-∞=+=-=⎰⎰★()h x相关运算的四个步骤：第一函数取共轭®两函数变量变换®第二函数平移®相乘积分。

3. 互相关与卷积的比较：1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有； 2）互相关图形不需要反转；3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。

4. 互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。

Ⅱ 例题讲解：证明：⎪⎭⎫⎝⎛=*a x atri a x rect a x rect )()(证明：相关与卷积的关系 ()()()()()fh e x f x h x f x h x *==-*★[]()()()()()()()()()fh e x f x h x f x h d h fx d fx h x ξξξξξξ∞*-∞∞**-∞==-=--=-*⎰⎰证明：★Ⅲ 练习题： 一、证明题1. 若)()()(x g x h x f =*，试证明)()()(00x x g x h x x f -=*-；即参与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。

证明：根据卷积的定义，已知 ⎰∞∞--=*tt x h t f x h x f d )()()()()('d )'()'('d )'()'(d )()()()(000'000x x g t t x x h t f t x t x h t f t t x h x t f x h x x f x t t -=--=--=--=*-⎰⎰⎰∞∞-∞∞--=∞∞-2. 证明)()()(00x x f x f x x -=*-δ根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据δ函数的筛选性质。

)(d )()()()(000x x f t t x f x t x f x x -=--=*-⎰∞∞-δδ二、思考题1. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。

假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N 。

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=d x comb d a x rect Nd x rect x g 1第三讲 第四讲 傅里叶变换的基本性质和基本定理Ⅰ重要的基本概念和公式复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为:2()2()1(,){(,)}(,)d d (,){(,)}(,)d d x y x y i f x f y x y i f x f y x y x y x yF f f FT f x y f x y e x yf x y FT F f f F f f e f f ππ∞-+-∞∞+--∞⎧==⎰⎰⎪⎪⎨⎪==⎰⎰⎪⎩ 其中(,)x y F f f 称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对； 傅里叶变换基本定理(重点)1.线性定理 {(,)(,)}(,)(,)x y x y FT af x y bg x y aF f f bG f f +=+2.缩放和反演定理 1{(,)}(,){(,)}()y x x y f f FT f ax by F FT f x y F f f ab a b=→--=-- 3.位移定理 {}2()(,)(,)x y i f a f b x y FT f x a y b F f f eπ±+±±={}12()(,)(,)i x y x y FT F f f f x y eπξηξη-+±±=4. Parseval 定理22d d (,)(,)x y x y df df x y f x y F f f ∞∞-∞-∞=⎰⎰⎰⎰ (能量守恒定理)5.卷积定理 {}{}1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y F f x y g x y F f f G f f F F f f G f f f x y g x y -⎧*=⎪⎨*=⎪⎩6. 互相关定理{}{}1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y FT f x y g x y F f f G f f FT F f f G f f f x y g x y *-*⎧=⎪⎨=⎪⎩★★ (表示互功率谱)7.迭次变换定理 {}{}11{(,)}{(,)}(,)FT FT f x y FT FT f x y f x y --==--即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。

光学模型为4f 成像系统8.积分变换定理 1(0)()()()22x x x x F F f d F f f i f ξξδπ-∞⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰ 9.共轭变换定理 1****{(,)}(,){(,)}(,)FT x y x y x y f f f f F FT F x y -==--10.空间周期与空间频率20200(,,)exp (cos cos cos )exp[]exp[cos ]E x y z E i x y z E ik r E i r πλπλαβγθ=++⎡⎤⎣⎦=⋅=f f f f像面谱面物面透镜透镜试证明{(,)(,)}(,)(,)x y x y f x y g x y F f f G f f *=()()()2222{(,)(,)}(,)(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y i f x f y i f x f y i f f i f X f Y f x y g x y f g x y d d e dxdyf g x y d d e dxdyf eg X Y e d d d ππξξζζπξζπξζξζξζξζξζξζξζξζ∞∞-+-∞-∞∞∞⎡⎤--++-+⎣⎦-∞-∞∞∞⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎡⎤*=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22(,)(,)(,)(,)x y x y i f f i f X f Y x y x y XdYf ed d g X Y edXdYF f fG f f πξζπξζξζ∞∞⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-∞-∞==⎰⎰⎰⎰Ⅱ 例题讲解：1. 证明下面的傅里叶变换关系式{rect()rect()}absinc(a )sinc(b )a bX Y x yf f =a/2b/2a/2b/2{rect()rect()}exp[2()]d d a bX Y x y-j f x f y x y π--=+⎰⎰根据傅里叶变换的定义，写出它的积分表达式：)a (asinc a )a sin(a )]a sin(2[21)]2[exp(21d )2exp(2/a 2/a 2/a 2/a X XX X X X XX f f f f j f j x f -j f j x x f -j ==--=-=--⎰πππππππ同理，)b (bsinc dy )y 2ex p(2/b 2/b X X f f -j =⎰-π把此结果和矩形夫琅和费衍射的结果相比较。

一、计算题1. 求()0cos 2f x π的傅里叶变换。

解：(){}()()dx ux j x f x f FT πππ2ex p 2cos 2cos 00-=⎰∞∞-()()[]()dx ux j x f j x f j πππ2exp 2exp 2exp 2100--+=⎰∞∞- ()[]()[]dx x f u j dx x f u j ⎰⎰∞∞-∞∞-+-+--=002exp 212exp 21ππ ()()[]0021f u f u ++-=δδ 2.单色平面波的复振幅表达式为(,,)exp 2U x y z A j π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求此波在传播方向的空间频率以及在x ，y ，z 方向的空间频率。

解：由题设知cos ,cos ,cos x y z k k k k k k αβγ=== 2分且112k f λπ====cos cos x y z f f f αβλλ=====3. 应用卷积定理，求tri(x ∕a)的傅里叶变换。

解：()()exp(2)x x x F rect rect i f x dx a a π∞-∞⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎰上式()()()222sin sin exp(2)sin 22ax x x x a x x x i f a f a i f x a a c af i f i f f a ππππππ+-⎡⎤-====⎢⎥-⎣⎦()()()x x x a rect rect a a aΛ=*{}211()()()()()sin ()x x x x x F x rect rect rect rect a c af aa a a a a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫∴Λ=*=⋅=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 第五讲 线性系统与线性空间不变系统和二维采样定理Ⅰ重要的基本概念和公式1. 线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：111122111111221111222222{(,)(,)}{(,)}{(,)}(,)(,)S a f x y a f x y a S f x y a S f x y a g x y a g x y +=+=+则称该系统是线性系统。