第五章 习题解答5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。

答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式2 d sin （θ/2）= λ其中d 是干涉条纹间隔。

由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录 在干板上的全息光栅空间频率为f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm故全息光栅的空间频率为1209.5 l /mm 。

5．2 如图5.33所示，点光源A （0，-40，-150）和B （0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉：xz图5.33 （5.2题图）（1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式；答：设：点源A 、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为U A 和U B ，则有 ()[{]}22--22)()()/(e x p e x p A A A A A A y y x x z jk jkz a U +=()[{]}22--22)()()/(exp exp B B B B B B y y x x z jk jkz a U +=其中: x A = x B = 0, y A = -40, z A = -150, y B = 30, z B = -100;a A 、a B 分别是球面波的振幅；k 为波数。

（2） 写出干涉条纹强度分布的表达式；I = |U A +U B |2 = U A ·U A * + U B ·U B * +U A *·U B + U A ·U B *[{]{[]}}[{]{[]}}--2---2-4--2--2--442222222222)()()/()()()/(exp )exp()()()/()()()/(exp )exp(B B B A A A B A B A B B B A A A B A B A B A y y x x z jk y y x x z jk jkz jkz a a y y x x z jk y y x x z jk jkz jkz a a a a ++•+++++•++=（3）设全息干板的尺寸为100 × 100 mm 2，λ = 632.8nm ，求全息图上最高和最低空间频率；说明这对记录介质的分辨率有何要求？解答：设全息干板对于坐标轴是对称的，设点源A 与点源B 到达干板的光线的最大和最小夹角分别为θmax 和θmin ，A 、B 发出的到达干板两个边缘的光线与干板的夹角分别为θA 、θB 、θA ’和θB ’，如图所示，它们的关系为θ A = tg -1[z A /（-y A - 50）] ，θ B = tg -1[z B /（-y B - 50）]θA ’= tg -1[z A /（y A - 50）] ，θB ’= tg -1[z B /（y B - 50）] θmax =θ A -θB ， θmin =θ B ’-θA ’根据全息光栅记录原理，全息图上所记录的最高空间频率 f max = （2/λ）sin （θmax /2）·cos α 1 最低空间频率 f min = （2/λ）sin （θmin /2）·cos α 2其中α角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角，由几何关系可知cos α 1 = sin （θ A +θB ）/2 ， cos α 2 = sin （θA ’+θB ’）/2将数据代入公式得 f max = 882 l /mm ，f min = 503 l /mm故全息图的空间频率最高为882 l /mm ，最低为503 l /mm ，要求记录介质的分辨率不得低于900 l /mm 。

5.3 请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。

（1）为什么不能用白光再现？试证明如图5.7所记录和再现的菲涅耳全息图的线模糊和色模糊的表达式（5.26）和（5.28）；（2）为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像？碎片尺寸的大小对再现像质量有哪些影响？（3）由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别？ 答：（1）首先证明（5.26）式，当01λμλ==。

即记录光与再现光波长相同时，（5.21）式变为：0000i c r i c ri c r i c r x x x x l l l l y y y y l l l l =+-=+-当再现光源没有展宽，即0C ∆=，一个点光源的像的展宽，(,)i i I x y ∆∆∆与参考光源的展宽(,)i i R x y ∆∆∆，成正比，即：()i Ri rI R l l ∆∆= 同样，当参考光源没有展宽，再现光源的展宽(,)c c C x y ∆∆∆也与像的展宽成正比 ()i ci cI C l l ∆∆= 参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为：()()i i i R cI I I ∆=∆+∆i r r R C l l l ⎛⎫∆∆=+ ⎪⎝⎭ 此即式（5.26）。

对于色模糊，由图5.8可以看出：i l λθ∆=⋅∆色散角与波长成一定函数关系，由于波长范围λ∆产生的色散角为：ix θθλλ∂∆=∆∂ 因而有ix i I l λθλλ∂∆=∆∂该式即为书上（5.27）式，根据书上P132以后分析即可证明（5.28）式。

（2）由于全息图上每一点都记录了物体上所有点发出的波的全部信息，故每一点都可以在再现光照射下再现出像的整体，因而全息图的碎片仍能再现出物体完整的像。

不过对再现像有贡献的点越多，像的亮度越高。

每个点都在不同角度再现像，因而点越多，再现像的孔径角也越大，像的分辨率越高，这就是碎片大小对再现像质量的两个方面影响。

5．4 用波长 λ0= 632.8nm 记录的全息图，然后用 λ= 488.0nm 的光波再现，试问：（1）若l o = 10cm ，l c = l r = ∞，像距l i =？解：根据菲涅耳全息图物像距关系式（5．21C ），像距l i 由下式确定原始像： )(ro c i l l l l 1-111μ+= 共轭像：)(r o c i l l l l 1-1-11μ= 其中 µ = λ / λ0 ， 将l c = l r = ∞代入得原始像距为 cm 13≈μoi l l =共轭像距为 cm 13-≈-μoi l l =（2）若l o = 10cm ，l r = 20cm ，l C = ∞，l i =？；解：同理,原始像距为 1-1-1)]([ro i l l l μ=≈ 26 cm 共轭像距为 l I ≈ - 26 cm（3） 第二种情况中，若l C 改为l C = -50cm ，l i =？；解：同理,原始像距为 l I ≈54 cm共轭像距为 l I ≈ - 17 cm（4）若再现波长与记录波长相同，求以上三种情况像的放大率M = ？解：当λ = λ0 时 µ = 1 ，由成像放大率公式（5．25）可知 1--1c or o l l l l M μ±=上述三种情况的放大率分别为（1）M = 1 ； （2）M = 2 ； （3）M = 3．35．5 如图5.34所示，用一束平面波R 和会聚球面波A 相干，记录的全息图称为同轴全息透镜（HL ），通常将其焦距f 定义为会聚球面波点源A 的距离z A 。

R 图5.34 （5.5题图）（1）试依据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21）—（5.22），证明该全息透镜的成像公式为fd d i μ±=-011 式中d i 为像距，d 0为物距，f 为焦距，μ = λ / λ0（λ0为记录波长，λ为再现波长），等号右边的正号表示正透镜，负号表示它同时又具有负透镜的功能。

证明：根据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21c ）和（5.22c ）有)(ro c i l l l l 1-111μ±= 根据题意，已知 d i = l i ，d 0 = l c ，l r = ∞ ；焦距f 是指当 λ = λ0时平行光入射得到的会聚点的距离，即当l c =∞，μ =1时的像距l i ，此时l i = f （= z A ）。

根据公式可得 oo i l l l f 111±=±==μ 于是有 f = + l o （=z A ）故：左边=fl l l l l d d o r o c i i μμμ±=±=±==)(1-11-11-10=右边证明完毕。

（2）若已知z A = 20cm ，λ0 = 632.8nm ，物距为d 0 = -10cm ，物高为h O = 2mm ，物波长为λ = 488.0nm ，问：能得到几个像？求出它们的位置和大小，并说明其虚、实和正、倒。

解：由已经证明了的全息透镜成像公式可得fd d i μ±=011 根据题意有f = z A = 20cm ，μ = λ / λ0 = 488.0nm / 632.8nm ，d 0 = -10cm ，代入上式 -16．3 cm 原始像得 d i =-7．2 cm 共轭像根据放大率公式（5．25）1-00-1±=c r z z z z M μ由本题关系可知，上式中z 0 = l o = f = 20cm ，z r = l r = ∞，z c = l c = d 0 = -10cm ，代入上式得 0．6 原始像高h = M ·h 0 = 1．20cm1-1c d f M μ±==0．28 共轭像高h = M ·h 0 = 0．56cm故能得到两个像，原始像位于 -16．3cm 处，正立虚像，像高1．20cm ；共轭像位于 -7．2cm 处，正立虚像，像高0．56cm 。

5．6 用图5.33光路制作一个全息透镜，记录波长为λ0 = 488.0nm ，z A = 20cm ，然后用白光平面波再现，显然由于色散效应，不同波长的焦点将不再重合。

请计算对应波长分别为λ1= 400.0nm 、λ2 = 500.0nm 、λ3 = 600.0nm 的透镜焦距。

答：由（5．23）式可知')(f l l r o 11-1=±μ 于是有 []1-1-1±=)('r o l l f μ其中l O = z A = 20cm ，l c = l r = ∞，µ1 = λ1 / λ0，µ2 = λ2 / λ0，µ3 = λ3 / λ0，代入数据得f 1’= 24．4cm ； f 2’= 19．5cm ； f 3’= 16．3cm故对应3个波长的焦距分别为24．4cm ，19．5cm 和16．3cm 。