2016-2017学年第二学期离线作业科目：高等数学姓名：学号：专业：建筑工程技术（工民建）西南交通大学远程与继续教育学院校本部学习中心《高等数学IB 》第1次离线作业1、求下列极限：（1）22121lim 1x x x x →-+-； （3）221lim 21x x x x →∞---； （5）22468lim 54x x x x x →-+-+； （7）3(1)(2)(3)lim5n n n n n →∞+++ （2）220()lim h x h x h →+-；（4）242lim 31x x x x x →∞+-+；（6）2123(1)lim n n n →∞++++-；（8）3113lim()11x x x→--- 解：（1）22121lim 1x x x x →-+-=2111)1 l im lim 0(1)(1)1x x →→(χ-χ-==χ-χ+χ+ （2）220()lim h x h x h →+-=222200022limlim lim(2)2h h h h h h h h h h h→→→χ+χ+-χχ+==χ+=χ ； （3） 221lim 21x x x x →∞---=22111lim 1122x →∞-χ=--χχ（4）242lim 31x x x x x →∞+-+=232411lim 0311x →∞+χχ=-+χχ（5）22468lim 54x x x x x →-+-+=44(2)(4)22limlim (1)(4)13x x →→χ-χ-χ-==χ-χ-χ- （6）2123(1)lim n n n →∞++++-=22(1)(1)2lim lim l 111(1)im 222n n n nn n n n n n →∞→∞→∞--=-==（7）3(1)(2)(3)lim 5n n n n n →∞+++=11231lim (1)(1)(1)55n n n n →∞+++= （8）3113lim()11x x x →---=22221112(1)(2)2lim lim lim 1(1)(1)(1)(1)1x x x →→→χ+χ-χ-χ+χ+===-χχ+χ+-χχ+χ+χ+χ+ 2、计算下列极限：（1）0sin limx x x ω→ ； （3）0sin 2lim sin 5x x x → ； （5）01cos 2lim sin x xx x→-（2）0tan 3limx x x→ ； （4）0lim cot x x x → ； （6）lim )x x x →+∞解：（1）0sin limx x x ω→；根据重要极限得：0sin lim x xxωω→=（2）0tan 3limx xx→=0sin 31lim3cos3x x x →=χ（3）0sin 2limsin 5x x x →=0sin 22lim sin sin 55x x x x x →=（4）0lim cot x x x →=0limcos 1sin x →χχ=χ（5）01cos 2limsin x xx x→-=222001cos 2sin 21lim lim()2sin 1cos 2x x x x →→-χχ==χχ+χ （6）lim )x x x →+∞=1limlim2x x ==《高等数学IB 》第2次离线作业1、证明方程531x x -=至少有一个根介于1和2之间。

证明：设55()31,(1)13130,(2)261250,f f f χ=χ-χ-=--=-<=--=> 由零点定理知：5(1,2),()310c f c c c ∈=--=因此至少有一个根介于1和2之间。

2、求下列函数的导数：⑴4y x=解：解：⑶ 1.6y x=解：解：⑸21y x=解：⑹35y x x=解：3、求下列函数的导数：（1）2523x x y x e =-+； （2）2tan sec 1y x x =+-； （3）sin cos y x x =⋅； （4）2ln y x x =（1）2523x x y x e =-+解：102ln 23t y e χχ=χ-+ （2）2tan sec 1y x x =+-解：22sec sec tan t y =χ+χχ （3）sin cos y x x =⋅解：22cos sin cos 2t y =χ-χ=χ （4）2ln y x x =解：2t y lin =χχ+χ4、求下列函数的二阶导数:⑴2ln 2x y x =+⑵21x y e-=⑶cos y x x =5、证明方程510x x +-=只有一个正根.证明：设5()1,f χ=χ+χ- 则(0)10,(1)10f f =-<=>由零点定理知方程：510χ+χ-=在0和1之间有一个正根。

若方程510χ+χ-=有两个正根,,a b 0,a b >> 则由罗尔定理知存在:0,a b ξξ>>>使得4510ξ+=，但显然是不可能的，所以方程510x x +-=只有一个正根。

6、用洛必达法则求下列极限：⑴0lim x →ln(1)x x+ 解：⑵0lim x →sin x xxe e -- 解：⑶0limx →sin 3tan 5xx解：⑷0lim x →cot 2x x 解：《高等数学IB 》第3次离线作业1、验证函数sin x y e x = 满足关系式220y y y "'-+=；解：(sin cos ),t y e χ=χ+χ2cos ,tt y e χ=χ所以220tt t y y y -+=2、确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：因2612186(1)(2)t y =χ-χ-=χ-χ-所以得单增区间：(,1),(2,)-∞+∞ 单减区间：(1,2) (2) 82y x x=+(0)x > ； 解：因228(2)(2)22,t y χ-χ+=-=χχ所以得单增区间：(2,)+∞ 单减区间：(0,2)（3）(0,0)n x y x e n x -=>≥解：因1()t n y n e --χ=χ-χ 所以得单增区间：(0,)n 单减区间：(,)n +∞3证明不等式: 当0x >时，1112xx+>+证明：设4、求下列函数的极值：（1）223y x x =-+；解：由220t y =χ-=得1χ=且20tt y =>所以1χ=是极小值点，极小值为：2。

（2）3223y x x =-；解：由26()0t y =χ-χ=得0,1χ=且126tt y =χ-所以0χ=是极大值点，极大值为：0， 当1χ=时是极小值，极小值为1-。

（3）3226187y x x x =--+；解：由26(23)6(1)(3)0t y =χ-χ-=χ+χ-=得1,3χ=-可以从单调性可知：1χ=-是极大值点，极大值为：17， 当3χ=时是极小值，极小值为47-。

（4）ln(1)y x x =-+解：由1101t y =-=+χ得0χ=且210(1)tt y =>+χ所以0χ=是极小值点，极小值为：05．求下列函数的最大值、最小值。

⑴32,1423y x x x =--≤≤； ⑵422,138y x x x =-+-≤≤6．判断下列曲线的凹凸性。

⑴24y x x =-⑵1,(0)y x x x=+>7、求下列不定积分：（1）2dxx ⎰ ； 解：21d C χ⎰=-+χχ（2）⎰；解：25C ⎰χ=χ （3）2(2)x dx -⎰；解：221(2)(2)3x dx C -=χ-+⎰（4）解：C =（5）2(32)x x dx -+⎰；解：23213(32)232x x dx C -+=χ-χ+χ+⎰（6）2cos 2xdx ⎰；解：211(1cos co )(sin s 2)22d x dx C +χχ=χ+χ+=⎰⎰（7）3(2)x e dx x+⎰解：3(2)23ln ||x e dx e C xχ+=+χ+⎰8.计算下列各定积分：解：解：解：解：9.利用函数的奇偶性计算下列积分：10、求下列图形的面积：(1)由y =y x =围成的图形；解：设所围成的图形为A 得：10211)326A d =χχ=-=⎰(2) 由 2y x =和23y x =-围成的图形；解：设所围成的图形为A 得：1232832(32)12833A d -=-χ-χχ=-+=⎰。