构造法之构造几何图形
构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。
例1：已知，则x 的取值范围是（）
A 1≤x≤5
B x≤1 C1＜x ＜5 D x≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与
5的距离之和等于4的所有点所表示的数。
如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A 。
例2.求)40()4(4122≤≤-+++x x x 的最小值.
分析：本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小. 解：如图3，作AB=4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，且AC=1，BD=2，P 为AB 上一点，设AP=x ，则2
2
)4(4,1x PD x PC -+=+=，问题转化为找出P 点的位置，使PC+PD 最小.如图4，作C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 交AB 于P ，由⊿PAC ′
∽⊿PBD ，得214=-x x ，求得3
4
=x ，所以22)4(41x x -+++的最小值是5.
例3： 已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 证：构造边长为1的正△ABC ，D ，E ，F 为边上三点，
D D 图3 A B C B P
图4
A C ′ C
B
D
C
F E
x y
z
并设BD=x ，CE=y ， AF=z ，如图1 显然有S △BDE +S △CEF +S △ADF <
4
3 即
34 x(1-y)+ 34 y(1-z)+ 34 z(1-x)＜34
例4正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k ，求证：aB+bC+cA<k2 此题有多种证法，仅构造法证法就有下列几种，可见数学的魅力。
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：
c b a
C B
A L N M R
Q
P
由S △LRM+S △MPN+S △NQL<S △PQR 即证。
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。
如下图所示。
bC cA aB
B
b c b
a
C B A
由图即证。
证明三：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？ 不妨构造棱长为k 的正方形，则有
k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA) 显然k3>k(aB+bC+cA) 得证。
证明四：还可联想函数式，构造以c （或a 或b ）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0<c<k)
此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)<0，f(k)<0 ∴f(c)<0 得证。
例5： 试证：对任何
，都有
，当有仅当时等号成立。
观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。
根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：
在中，，则。
但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。
，即
例6：已知x、y、z为正数，且xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值
分析：该题看似无从下手，但（x+y）（y+z）得形式类似与AB形式，与面积公式有相似之处，我们可以构造一个边长为a=x+y，b=y+z，c=z+x的三角形ABC，那么此三角形的面积可以用两种方法来求：
（1）海伦公式：不再大纲范围（略）
因此当sinC 最大等于1时，（x+y ）（y+z ）有最小值为2。
例7如图5，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=35-，CD=6，则AD=________.
解：如图构造矩形EFDG.
,6,135=︒=∠AB ABC ∴AE=BE=3，
33,3,6,120==∴=︒=∠GD CG CD BCD .
,83353=+-+=++=∴CG BC EB DF
.32333=-=-=AE EF AF .
1928)32(2222=+=+=
∴DF AF AD
例8：如图6，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ,求BD 的长.
A F
C
B
E G
图7
分析：求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A ，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt ⊿BDE. 解：以A 为圆心，AB 为半径构造⊙A ，由于AB=AC=AD ， 则C ，D 在⊙A 上，延长BA 交⊙A 于E ，连结DE ，得 Rt ⊿BDE.由于AB ∥DC ，BC=b ，所以ED=BC=b ，又
EB=2AB=a 2，所以 2
2224)2(b a b a BD -=-=.
练习：
1、已知a ，b ，c ，d 为正数，且a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证：a=d,b=c
2、已知0＜a ＜1，0＜b ＜1， 求证：√（a^2+b^2）+√(a-1)^2+b^2+√a^2+(b-1)^2+√(a-1)^2+(b-1)^2>=2√2
3、求证：ac+bd ≤√(a^2+b^2) *√(c^2+d^2)
B A
C D E 图8。