立体几何测试题1．如图，直二面角D —AB —E 中， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小的余弦值；2．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且1,60AA AD DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF//平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小.3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． （1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） （2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；4、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.5. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，其中2,6AB PA ==．（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．6. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD =DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.7. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小8. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （II ）求二面角B —AB 1—D 的大小； （III ）求点c 到平面AB 1D 的距离.参考答案1、解：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE..AE CB ⊥∴ .BCE AE 平面⊥∴ （Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2，⊥BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC.BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又EB AE = ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2. 又 直角,6,22=+=∆BE BC EC BCE 中332622=⨯=⋅=EC BE BC BF ， 23633,sin ,cos 332BF BFG BGF BGF BG ∴∆∠===∴∠=直角中， ∴二面角B —AC —E 大小的余弦值等于3.32、解（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF//AN..,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄ .//ABCD MF 平面∴（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1可知：⊥A A 1平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂ .11A ACC BD 平面⊥∴在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形.故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1， ∴BD ⊥AC 1，∵BD//NA ，∴AC 1⊥NA. 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt △C 1AC 中，31tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°.∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°3.4.【答案】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则12aC O =，1112230C D a C O C DO ︒=⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒5. 解：(Ⅰ) 连结AC , 交BD 于点O , 连结PO , 则PO⊥面ABCD , 又∵AC BD ⊥ , ∴PA BD ⊥, ∵11//BD B D , ∴11PA B D ⊥ ．（Ⅱ） ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO ⊥面PBD , 过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM , 则AM ⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O 的平面角,又∵2,AB PA ==AO=2,PO=226=-PO OD OM PD ⋅===, ∴tan AO AMO OM ∠===,即二面角的大小为． (Ⅲ)用体积法求解：11B PAD A B PD V V --=BPD PAD x S AO S h ⋅=⋅⇒3131解得5x h =，即1B 到平面PAD6. 解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD∴DE ⊥AF 。

又∵AC=AD=C ，F 为CD 中点 ∴AF ⊥CD ， ∴AF ⊥面CDE ∴AF ⊥平面CDE 。

（Ⅱ）∵AB DE ACD AB ACD DE //⇒⎭⎬⎫⊥⊥平面平面取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形 AM//BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角。

在△ACM 中，AC=2aa a a DM AD AM 542222=+=+= a a a DM CD CM 542222=+=+=由余弦定理得：55522)5()5()2(cos 222=⨯⨯-+=∠aa a a a CAM ∴异面直线AC 、AE 所成的角的余弦值为55。

（Ⅲ）延长DA 。

EB 交于点G ，连结CG 。

因为AB//DE ，AB=21DE ，所以A 为GD 中点。

又因为F 为CD 中点，所以CG//AF 。

因为AF ⊥平面CDE ，所以CG ⊥平面CDE 。

故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45° 7. 解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ，所以平面11AA C C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ， 得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ 所以1AC ⊥平面1A BC ；（II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为 菱形，故12AA AC ==，又D 为AC 中点，知160A AC ∠=。

取1AA 中点F ，则1AA ⊥平面BCF ，从而面1A AB ⊥面BCF ， 过C 作CH BF ⊥于H ，则CH ⊥面1A AB ，在Rt BCF ∆中，2,BC CF ==7CH =，即1CC 到平面1A AB 的距离为7CH =。

（III ）过H 作1HG A B ⊥于G ，连CG ，则1CG A B ⊥，从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角，在1Rt A BC ∆中，12A C BC ==，所以CG =，在Rt CGH ∆中，sin 7CH CGH CG ∠==，故二面角1A A B C --的大小为。

8. （I ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE.∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点， ∴DE ∥A 1C.∵DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D.（II ）解：在面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连接DG.∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ， ∴DF ⊥平面A 1ABB 1，∴FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影， ∵FG ⊥AB 1， ∴DG ⊥AB 1 ∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 设A 1A = AB = 1，在正△ABC 中，DF=.43在△ABE 中，82343=⋅=BE FG ， 在Rt △DFG 中，36tan ==∠FG DF FGD ，11 / 11 所以，二面角B —AB 1—D 的大小为.36arctan （III ）解：∵平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1，又AD ⊂平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D. 在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面AB 1D 的距离. 由△CDH ∽△B 1DB ，得.5511=⋅=D B CD BB CH 即点C 到平面AB 1D 的距离是.55。