故四边形 BMNF 是平行四边形，∴ MN // BF ，…………8 分
而 BF 面 ABC1 ， MN 平面 ABC1 ，∴ MN // 面 ABC1 ……10 分
18．（本题 12 分）已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是 A 60 、边长为 a 的菱形，又
PD 底面ABCD，且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点．
P N
D
M
C
A
B
16．(本题 10 分) 如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90 ， BC CC1 ， M 、 N 分别为 BB1 、 A1C1 的中点. （Ⅰ）求证： CB1 平面ABC1 ； （Ⅱ）求证： MN // 平面ABC1 .
解析：（Ⅰ）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，
aα
a∩α=A
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
a∥α
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
aα
bβ
=> a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则
侧面 BB1C1C ⊥底面 ABC，且侧面 BB1C1C ∩底面 ABC= BC ， ∵∠ ABC=90°，即 AB BC ， ∴ AB 平面 BB1C1C
∵ CB1 平面 BB1C1C ，∴ CB1 AB . ……2 分
∵ BC CC1 ， CC1 BC ，∴ BCC1B1 是正方形，
∴ CB1 BC1 ，∴ CB1 平面ABC1 . …………… 4 分
（Ⅱ）取 AC1 的中点 F ，连 BF 、 NF . ………………5 分
在△ AA1C1 中， N 、 F 是中点，
∴
NF
//
AA1 ,
NF
1 2
AA1 ，又∵
BM
//
AA1 ,
BM
1 2
AA1 ，∴
NF // BM , NF BM ，………6 分
P a
L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的
数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
α来表示
这两个平面平行。
符号表示： aβ bβ
a∩b = p
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
a ∥ b ∥
β∥
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任
18．（本题 12 分）
已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是 A 60 、边长为 a 的菱形，又 PD 底面ABCD，
且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点． （1）证明：DN//平面 PMB；
（2）证明：平面 PMB 平面 PAD；
（3）求点 A 到平面 PMB 的距离．
（1）证明：DN//平面 PMB；
（2）证明：平面 PMB 平面 PAD；
（3）求点 A 到平面 PMB 的距离．
解析：（1）证明：取 PB 中点 Q，连结 MQ、NQ，因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点，所以 QN//BC//MD，且 QN=MD，于是 DN//MQ．
DN // MQ
MQ 平面PMB DN // 平面PMB.
．
（３） 当点 在对角线 上运动，点 在棱 上运动
时， 的最小值仍然是
．
证明：如下图，设
，由正方体的对称性，显然有
．
设 在平面 上的射影是 ．在
．
所以，点 的坐标是
．
由已知，可设
，则
中，
，所以
，即有
．
当
时， 取得最小值，最小值是
．
∴平面 PAC 平面 BDE．
………………15 分
（１）当点 为对角线 的中点时，点 的坐标是
．
因为点 在线段 上，设
．
．
当
时， 的最小值为
Байду номын сангаас
，即点 在棱 的中点时， 有最小值
．
（２） 因为 在对角线 上运动． 是定点，所以当
时， 最短．因为当点 为棱 的中点时，
，
是等腰
三角形，所以，当点 是 的中点时， 取得最小值
分
（3）因为 M 是 AD 中点，所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离.
过点 D 作 DH PM 于 H，由（2）平面 PMB 平面 PAD，所以 DH 平面PMB．
故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.
aa DH 2
5 a.
5a 5
2
17．(本题 15 分)证明（1）∵O 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点，
A
梭l
β
B
α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平
面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a ∥α
aβ
a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那
么它们的交线平行。
符号表示： ∥ ∩γ= a a ∥ b ∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平 面α互相垂直，记作 L⊥α，直线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂 面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
∴OE∥AP，
………………4 分
又∵OE 平面 BDE，PA 平面 BDE，
∴PA∥平面 BDE．
………………7 分
（2）∵PO 底面 ABCD，
∴PO BD， 又∵AC BD，且 AC PO=O
………………10 分
∴BD 平面 PAC，而 BD 平面 BDE， ………………13 分
DN 平面PMB
…………………4 分
（2）
PD 平面ABCD MB 平面ABCD PD MB
又因为底面 ABCD 是 A 60 ,边长为 a 的菱形，且 M 为 AD 中点，
所以 MB AD.又
所以 MB 平面PAD.
MB MB
平面PAD 平面PMB
平面PMB
平面PAD.
………………8
与另一个平面垂直。
17．(本题 15 分)如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，
PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点．
求证：（1）PA∥平面 BDE；
（2）平面 PAC 平面 BDE．
P E
D
O A
C B
16．(本题 10 分)
如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，ABC 90 ，BC CC1 ，M 、N 分别为 BB1 、 A1C1 的中点. （Ⅰ）求证： CB1 平面ABC1 ； （Ⅱ）求证： MN // 平面ABC1 .