：
（ ）的周期 延 拓 所 构 成 的 周 期 信长 信号 ，凡 （ ）和 （ ）的圆周 卷积 等 于相应 的周期
２
５
５
８
４
／
信号 。 ） （ 和 （ ）的周期卷积 的一个基 本周期 。 ｎ ｎ
—■ — — 一
式 中 （ ｎ一南 ）是 ： ｎ （ ）的 圆 周移 位 ， 限 长 序 列 有
ｃｎｏｕｉ ｎ ｙｉ ｄａ ｄｔｅ ｓｍｅ ｏ － ｕ ｒ ｈ ｍｕ ｉｌ ａｉ ｎ ｓ ｔ ｔ ｇ ｏ ｔｕ ｇ ｅ ｔ ｏ ｖｌｔ ｎｉ ａ ａ ｓ ｅ ｎ ｎａｆ ｔ ｔ ｄ ｐｉ ｔ ｌｐｉ ｔ ｎａ ｄｉ ａ ｉ ｉ ｄ ｍ ｎ ｏ ｓ ｌ ｚ ｈ ａ ｈ ｇ ｔ ｃ ｏ ｔ ｓ ｒｎ ｐ ｎ ｊ
（ ３）
图 ２所 示 。
低 位 ｘ（） × ２ ｎ
４
２ １
＝
［ １ ） ｎ ］ Ｒ（） ∑Ｘ （ 一 ） ・Ｎｎ （
Ｕ
高 位 １
２
３
（ —— —＿ —■ ＿ 『
２
４ ６
２
上 式 中 （ ）和 （ ）分 别 表 示 （ ）和 ｎ ｎ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｅａ ｉｎ；ｆ ｓ ｃ ｎ ｏｕ ｉ ｎ ａ ｇ ｒ ｈ ；ｄ ｇ ｔｌ ｉ ｎ ｌｐ ｏ ｅ ｓｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｖ ｌ ｔ ｐ ｒ ｔ ｏ ｏ ａ ｔ ｏ ｖ ｌ ｔ ｌｏ ｉ ｍ ｏ ｔ ｉ ｉ ｇ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇ ａ ｓ
（ ）的 圆周 移位 是指 以其长 度 Ｎ为 周期 ， 其延 拓 ｎ 将
成 周期 序 列 （ ）， 周期 序列 （ ）加 以移 位 ， ｎ 将 ｎ 然
图 ２ 圆周 卷 积 竖 式 乘 法
３ 卷 积 与 频 域 变 换 的关 系
本 科教 学 阶段 的数 字信 号处 理课 程包 含对 离散
（ ｃ ｏｌ ｆ ｌ ｔ ｎｃ ｎ ｎｏｍ ｔ ｎＥ ｇ ｅｒ ｇ Ｓ ｏｈ ｗ Ｕ ｉ ｒｔ ， ｕｈ ｕ２ ０ ， ｈｎ Ｓ ｈｏ ｏ ｅ ｒ ｉ ａ ｄＩｆ ａ ｏ ｎｉ ｅ ｎ ， ｏ ｃｏ ｎ ｅｓｙ Ｓ ｚｏ ０ ６ Ｃ ｉａ） Ｅ ｃｏ ｓ ｒ ｉ ｎ ｉ ｖ ｉ １ ５
摘 要 ：卷积 的定义及其计算是数字信号处理课程 中的重点也是难点 ，从 三个方 面阐述 了卷积 的相关 知识 。首
先介绍 了数字信号处理课程 中三种卷积 的定义及其 相互 间的联系和 区别 ；然后 分析可卷积 的图解法基本 步骤 ， 并进一步引入 了卷积的快速算法——竖式乘法及起点判断 方法 ；最后总结 了两信 号在 时域 的 ３种卷积与三种变
ｍｅｈｏ ｒ ｐ ｏ ｏ ｅ ｔ ｄ ａ ｅ ｒ ｐ ｓ ｄ． Ｆｉ ａｌ ｎ ｌｙ，ｔ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｒｌ ｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｔ ｏ ｉ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉｎ ａ ｄ ｈ ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ｅａ ｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎ ｉ ｏ ｍｅ ｄ ｍａ ｎ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｎ ｔａ ｆｒ ｄ ｍａｎ ｍｕ ｔｐ ｉａ ｉｎ ｏ ｉｎ ｌ ｓ ｓ ｒ ｎ ｏ ｍ ｏ ｉ ｌｉ ｌｃ ｔｏ ｆｔ ｓｇ ａ ｓｉ ｕｍｍａ ｚ ｄ ｗｏ ｉ ｒ ｅ ．Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒｍａ ｅ ｐ ｎ ｔ ｅ ｓｕ ｅ ｔ ’ｕ ｉ ａ ｅ ｙ ｄ ｅ ｅ ｈ ｔ ｄ ｎ ｓ ｎ－ ｄ ｒｔｎ ｎｇ ｏ ｏ ｖ ｌｔｏ ｏ ｃ ｐ ｉｎ ｓｕ ｙ ｅ ｓａ ｄｉ ｎ ｃ ｎ ｏｕ ｉ ｎ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｔ ｄ ．
基金项 目： 苏州大学校级教改项 目（ 目编号 ：１１９ １ 。 项 ３３ ５ １）
积条件 ， 其线性卷积不存在。但对于周期信号来说 ， 有 意 义 的 是 周 期 卷 积 ， 非 线 性 卷 积 。 （ ）和 而 ｎ
陈雪 勤 ， ：数 字信 号 处理 ” 程 中的卷 积运 算教 学研 究 等 “ 课
（ ）的周 期卷 积定 义 如下 ： ｎ
Ｎ— ｌ
。
６ ７
高位 ６
３
４ ２ ３
低位 ｘ（） １ ｎ ２
１ ４ ＋６ １ ８
１
７
７
（） ： ） ｎ ⑧ （ ＝∑Ｘ（）： ） ｎ １ （ 凡一
（） ２
ｘ（） × ２ｎ
周 期 卷积 和线性 卷 积 的 区别 仅在 于 累加 求和 的
类 似 的快 速 方 法也 可 用 于 周 期 卷 积 和 圆 周 卷
积， 由于 圆周卷 积 相 当于周 期卷 积 的一个 主周 期 ， 因 此两 者 的快速 算法 基本 一 致 ， 骤 如下 ：１ 与 线性 步 （） 卷积 一样 的竖 式乘 法 ；２ 取 长 度为 Ｎ点 ， 乘 积 长 （） 若 于 Ｎ点 ， 将 多余 的 Ｍ 点返 回与 前 Ｎ点 相加 ； 则 若乘
１ １ 线 性卷积 ．
位、 相乘 、 累加 ， 具体来讲就是 ： （ ｔ １ （ ｓ ｐ ） ｍ）不 动 ， ２ｍ）翻褶 为 ２ 一ｍ）； ｅ Ｘ（ （ （ｔ ２ 当 ｎ＝ ｓｐ ） ｅ 一∞ ～＋∞时 ， 别 移动 戈（ 分 ２ 一ｍ） 为 ２ｎ—ｍ）； （ （ｔ ３ 计算 （ ）与 （ ｓｐ ） ｅ ｍ ｎ—ｍ） 的乘积和 ； （ｔ ４ 重 复 ２～３步 骤 直 到 ｘ（ ｓｐ ） ｅ ｍ）与 ｘ（ — ｎ ｍ）在 时 间轴上 没有交 叠 。
后取 主 值 区间 ［ Ｎ 一１ ０， ］的序列 值 。 因而一个 有 限 长 序列 （ ）的圆周移 位定 义 为 ： ｎ
（ ） （ ｎ＋ｍ） ｎ ｎ ＝ （ ）Ｒ （ ） （） ４
信 号 的几种 变 换 ： ｚ变 换 Ｚ 离 散 时 间 傅 里 叶变 换 Ｔ、
Ｄ Ｆ＂离散傅 里 叶级 数 Ｄ Ｓ 离散 傅 里 叶变换 Ｄ Ｔ ＴＩ 、 Ｆ、 Ｆ。 几种 变 换之 间有 着潜 在 的联 系 。对 于 线性 移不 变 系
Ａｂ ｔａ ｔ： Ｔ ｏ ｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｅ ａｉｎ ｉ ｎ ｅ ｈａ ｉ ｎｄ ｄｆ ｃ ｌ ｎ ｄ ｓ ｒ ｔ ｉｎａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇｃ ｕ ｓ ． ｓｒ ｃ ｈｅｃ ｎ ｏｕｔ ｐ ｒ ｔｏ ｓａ ｍｐ ｓｓａ ｉ ｕ ｔ ｉ ｉｃ ｅｅ ｓｇ ｌｐ ｏ ｅ ｓｎ ｏ ｒｅ ｏ ｉ ｆ ｙ Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｒ ｔｏ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｆｏ ｔ ｒ ｅ ａ ｐ ｃｓ Ｆｉｓｌ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｐｅａ ｉｎ ｉ ｉｃ ｓｅ ｒ ｍ ｈ ｅ ｓ ｅ ｔ ． ｒ ｔ ｙ，ｔ ｅ ｄ ｆ ｔｏ ｆｔ ｒ ｅ ｈ ｅ ｎｉ ｎ ｏ ｈ ｅ ｉ ｉ
积 。设 （ ）和 （ ）的长 度 均 为 Ｎ， 它 们 的 圆 凡 凡 则 周 卷 积定 义为 ：
ｌ
２ ， （ ）＝｛ ，｝则 （ ） ｝ 凡 １２ ， 凡
（ ） （／ ＝［ （ ） 凡 。２ ／ ， ｌ凡 ）
１
～ ～
（ ）的竖 式乘 法 如 ｎ
２ ］・ Ｆ （ ） Ｒ （／ ， ）
范 围。线 性卷 积 的累加 范 围是 （ （ ＋Ｏ）， 一０， ０ 而周 期 ３
卷 积 的累加 范 围是一 个周 期 ， ［ Ｎ 一１ （ ） 即 ０， ］。 ／ ２ 和 （ ）的周 期 卷 积 也 是 一 个 周 期 为 Ｎ 的周 期 信
号 。周 期 卷积 图解 方法 步骤 如下 ： （ ｔ １ １ｍ）不动 ， （ ｓｐ ） （ ｅ ２ ｍ）翻褶 为 ２ 一７）； （ ＂ Ｆ ｔ Ｊ （ｔｐ ）当 ｎ＝ ｓ ２ ｅ 一∞ ～＋Ｏ时 ， ０ 分别 移 动 （ 凡 一ｒ） 为 ２ ｎ—ｍ）； （ （ｔ ３ 以 ｎ ∈ ［ ， 一 １ ｓｐ ） ｅ ０Ｎ ］为 求 和区 间 ， 看做 一 个窗 ；
理解 。本 文对 三种 卷 积 的关 系 、 运算 规 则 及 信 号 时
ｘｎ ２） Ｉ ） （ ＝∑ Ｘ （ 一 ） （ Ｘ ｎ ， ） ｎ １ （
（） １
线性卷 积 图解方 法可 分解 为 ４个 步骤 ： 翻褶 、 移
域卷 积与 频域 相乘 的关 系进 行 了分 析 。
ｌ 三 种 卷 积 的定 义 及 关 系
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｏ ｖ ｌ ｔ ｎ ｏ ｅ ａｉ ｎ ｔ ａ ｈ ｎ ｆ ｓ ａ ｃ ｎ ｃ ｎ ｏｕ ｉ ｐ ｒ ｔｏ ｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｏ
“ｄ ｇ ｔｌｓｇ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇ ｃ ｕ ｓ ｉ ｉ ｉｎ ｌｐ ｏ ｅ ｓｎ ＂ ｏ ｒｅ ａ
ＣＨＥＮ ｅ ｉ Ｘｕ —ｑ ｎ． ＹＵ —ｂ ａ Ｙｉ ｉｏ
！＝
Ｃ ２－ｌ ５ ／Ｎ Ｎ１ ３ ２
实
验
室
科
学
第１ ５卷
第 ４期
２１ ０ ２年 ８月
ＬＡＢＯ ＲＡＴ ０ＲＹ Ｓ ＥＮＣＥ ＣＩ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ４ １１ ． Ａｕ ． ０１ ｇ２ ２
“ 数字信号处理 ＂ 课程 中的卷积运算教学研究
陈雪勤，俞一彪
（ 苏州大 学 电子 信 息学 院 ，江苏 苏 州 ２５０ ） １０ ６
换域 的乘积对应关系 。卷积相关知识 的归纳 ，尤其是卷积的快速算法对 于学生的卷积计算有很好 的帮助作用 。 关键词 ：卷积运算 ；卷积快速算法 ；数字信号处理 中图分类号 ：Ｎ １．２ Ｔ ９ ７ １ 文献标识码 ： Ｂ ｄｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １７ － ３５ ２ １．４ ０ １ ｏ：０ ３ ６／．ｓ ．６２ ４ ０ ．０ ２ ０ ．２ ｓ
积短 于 Ｎ点 ， 补 ０至 Ｎ点 。起 点 的确 定方 法 与 线 则 性 卷积 一 样 。 圆 周 卷 积 示 例 ： 设 （ ）＝ ｛ ， ， ， ｎ ２ １ ３
（ｔ ４ 计 算 区间 内 的乘 积 和 。 ｓｐ ） ｅ
１ ３ 圆周 （ 环 ） 积 ． 循 卷
圆周 卷积 针对 两个 长 度相 同 的有 限长信 号求 卷
ｋ ｎ ｓ ｏ ｏ ｖ ｌ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｅｒ ｌｔ ｎ ｂ ｗ ｅ ｅ ａ ｅ ｉｔ ｄ ｃ ｄ ｅ ｏ ｄ ｙ ｈ ｒ ｐ ｉ ｔ ｏ ｆ ｈ ｉ ｄ ｆ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｅａｉ ｅ ｅ ｎ ｔ ｍ ｒ ｒ ｕ ｅ ．Ｓ ｃ ｎ ｌ ，ｔ ｅ ｇ ａ ｈ ｃ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｅ ｃ ｏ ｈ ｏ ｈ ｎ ｏ ｔ