数字信号处理课程总结以下图为线索连接本门课程的内容：)(t x a )(t y a一、 时域分析1． 信号✧ 信号：模拟信号、离散信号、数字信号（各种信号的表示及关系） ✧ 序列运算：加、减、乘、除、反褶、卷积 ✧ 序列的周期性：抓定义✧ 典型序列：)(n δ（可表征任何序列）、)(n u 、)(n R N 、n a 、jwn e 、)cos(θ+wn ∑∞-∞=-=m m n m x n x )()()(δ特殊序列：)(n h 2． 系统✧ 系统的表示符号)(n h ✧ 系统的分类：)]([)(n x T n y =线性：)]([)]([)]()([2121n x bT n x aT n bx n ax T +=+ 移不变：若)]([)(n x T n y =，则)]([)(m n x T m n y -=- 因果：)(n y 与什么时刻的输入有关 稳定：有界输入产生有界输出✧ 常用系统：线性移不变因果稳定系统 ✧ 判断系统的因果性、稳定性方法 ✧ 线性移不变系统的表征方法：线性卷积：)(*)()(n h n x n y =差分方程： 1()()()NMk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑3． 序列信号如何得来？)(t x a )(nx 抽样✧ 抽样定理：让)(n x 能代表)(t x a ✧ 抽样后频谱发生的变化？ ✧ 如何由)(n x 恢复)(t x a ？)(t x a =∑∞-∞=--m a mT t TmT t T mT x )()](sin[)(ππ二、 复频域分析（Z 变换）时域分析信号和系统都比较复杂，频域可以将差分方程变换为代数方程而使分析简化。

A ． 信号 1．求z 变换定义：)(n x ↔∑∞-∞=-=n nzn x z X )()(收敛域：)(z X 是z 的函数，z 是复变量，有模和幅角。

要其解析，则z 不能取让)(z X 无穷大的值，因此z 的取值有限制，它与)(n x 的种类一一对应。

✧ )(n x 为有限长序列，则)(z X 是z 的多项式，所以)(z X 在z=0或∞时可能会有∞，所以z 的取值为：∞<<z 0；✧ )(n x 为左边序列，-<<x R z 0，z 能否取0看具体情况；✧ )(n x 为右边序列，∞<<+z R x ，z 能否取∞看具体情况（因果序列）； ✧ )(n x 为双边序列，-+<<x x R z R 2．求z 反变换：已知)(z X 求)(n x✧ 留数法✧ 部分分式法（常用）：记住常用序列的)(z X ，注意左右序列区别。

✧ 长除法：注意左右序列 3．z 变换的性质：✧ 由)(n x 得到)(z X ，则由)()(z X z m n x m -↔-，移位性；✧ 初值终值定理：求)()0(∞x x 和；✧ 时域卷积和定理：)(*)()(n h n x n y =)()()(z H z X z Y =⇔； ✧ 复卷积定理：时域的乘积对应复频域的卷积； ✧ 帕塞瓦定理：能量守恒⎰∑-∞-∞==πππdw eX n x jwn 22)(21)(4．序列的傅里叶变换公式：∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(1()()2j j n x n X e e d πωωπωπ-=⎰注意：)(jw e X 的特点：连续、周期性；)(jw e X 与)(z X 的关系 B ． 系统由)()(z H n h ↔，系统函数，可以用来表征系统。

✧ )(z H 的求法：)()(z H n h ↔；)(z H =)(/)(z X z Y ； ✧ 利用)(z H 判断线性移不变系统的因果性和稳定性 ✧ 利用差分方程列出对应的代数方程1()()()NMk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑∑∑=-=--=⇒N k kk Mk kk z a zb z X z Y 101)()(✧ 系统频率响应)(jw e H ：以2π为周期的ω的连续函数 ∑∞-∞=-=n jwnjwen h e H )()(∑∞-∞=-=n jwnjwen h eH )()(，当)(n h 为实序列时，则有)(jw e H =)(*jw e H -三、 频域分析根据时间域和频域自变量的特征，有几种不同的傅里叶变换对 ✧ 时间连续，非周期↔频域连续（由时域的非周期造成），非周期（由时域的连续造成）；⎰∞∞-Ω-=Ωdt et x j X tj )()(⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x tj )(21)(π✧ 时间连续，周期↔频域离散，非周期⎰-Ω-=Ω2/2/00000)(1)(T T tjk dt e t x T jk X ∑ΩΩ=t jk e jk X t x 0)()(0✧ 时间离散，非周期↔频域连续，周期 ∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(1()()2j j n x n X ee d πωωπωπ-=⎰，T w Ω=（数字频率与模拟频率的关系式）✧ 时间离散，周期↔频域离散，周期∑∑-=-=-==10102)(~)(~)(~N n kn NN n kn Nj W n x e n x k X π∑∑-=--===10102)(~1)(~1)(~N n kn NN n kn Nj W k X N e k X N n x π✧ 本章重点是第四种傅里叶变换-----DFS✧ 注意：1）)(~)(~k X n x 和都是以N 为周期的周期序列； 2）尽管只是对有限项进行求和，但)(~)(~k X n x 和的定义域都为（∞∞-,）；例如：0=k 时，∑-==1)(~)0(~N n n x X 1=k 时，∑-=-=102)(~)1(~N n n N j e n x X πN k =时，∑∑-=-=-==10102)(~)(~)(~N n N n Nn N j n x e n x N X π=)0(~X1+=N k 时，)1(~)(~)1(~10)1(2X e n x N X N n n N N j ==+∑-=+-π同理也可看到)(~n x 也有类似的结果。

可见在一个周期内，)(~)(~k X n x 和一一对应。

✧ 比较∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X )()(和∑∑-=-=-==10102)(~)(~)(~N n kn NN n kn Nj W n x e n x k X π，当)(n x 只在)(~n x 的一个周期内有定义时，即)(n x =)(~n x ，10-≤≤N n ，则在2k Nπω=时，)(~)(k X e X jw =。

✧21()01,0,N jk r n Nn k r ek r π--==⎧=⎨≠⎩∑ ✧ 因为)(~)(~k X n x 和的每个周期值都只是其主值区间的周期延拓，所以求和在任一个周期内结果都一样。

✧ DFT ：有限长序列)(n x 只有有限个值，若也想用频域方法分析，它只属于序列的傅里叶变换，但序列的傅氏变换为连续函数，所以为方便计算机处理，也希望能像DFS 一样，两个域都离散。

将)(n x 想象成一个周期序列)(~n x 的一个周期，然后做DFS ，即∑∑-=--=-==102102)()(~)(~N n kn N j N n kn Nj e n x e n x k X ππ注意：实际上)(~n x 只有)(n x ，不是真正的周期序列，但因为求和只需N 个独立的值，所以可以用这个公式。

同时，尽管)(n x 只有N 个值，但依上式求出的)(~k X 还是以N 为周期的周期序列，其中也只有N 个值独立，这样将)(~k X 规定在一个周期内取值，成为一个有限长序列，则会引出DFT)()()(12k R en x k X N N n kn Nj∑-=-=π)()(1)(12n R e k X N n x N N n kn N j ∑-==π比较：三种移位：线性移位、周期移位、圆周移位三种卷积和：线性卷积、周期卷积、圆周卷积重点：1）DFT 的理论意义，在什么情况下线性卷积=圆周卷积2）频域采样定理：掌握内容，了解恢复3）用DFT 计算模拟信号时可能出现的几个问题，各种问题怎样引起？混叠失真、频谱泄漏、栅栏效应FFT ：为提高计算速度的一种算法1） 常用两种方法：按时间抽取基2算法和按频率抽取基2算法，各自的原理、特点是什么，能自行推导出N 小于等于8的运算流图。

2） 比较FFT 和DFT 的运算量； 3） 比较DIT 和DIF 的区别。

四、 数字滤波器（DF ）一个离散时间系统可以用)()(z H n h 、、差分方程和)(jw e H 来表征。

问题：1、各种DF 的结构2、如何设计满足要求指标的DF ？3、如何实现设计的DF ？A ． 设计IIR DF ，借助AF 来设计，然后经S---Z 的变换即可得到。

1） 脉冲响应不变法：思路、特点 2） 双线性变换法：思路、特点、预畸变 3） 模拟滤波器的幅度函数的设计 B ． 设计FIR DF1） 线性相位如何得到？条件是什么？各种情况下的特点。

2） 窗函数设计法：步骤、特点 3） 频率抽样法：步骤、特点 C ． 实现DF标准形式：∑∑=-=--=N k kk Mk kkz b z az H 11)(。