qs x .
则有① r=s； ② 适当调整 q j x 的位置后，有
qi x ci pi x ,
i 1, 2,
,r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）： 当r=1时，结论显然成立。 假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立， 则当 f x 分解成r个因式时，有
q1 c1 p1 p2 ( x)
1 1 1 2
pr ( x) c1q2 x
qs x
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c c p c2 p2 , qi ci pi , i 3,4, , r
故
qi ci pi , i 1,2, , r
例如：
f x 5 x 3 x 2 x 1 ,
5 3
g x 7 x 3 x 1
3
4
x 1 ,
3
则 f x , g x x 3 x 1 虽然根据多项式的标准分解式写出
f x , g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
第一章 多项式
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是， f x 的分解式就变成：
f x an p1k1 x p2k2 x pl kl x .
p1 x , , pl x 为 F x 的首一不可约多项式，
证： 若 p x f x , 则结论成立； 若 p x
第一章 多项式
f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x , f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
p x g x.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x 则 p x 必整除某个 fi x ,1 i s. 二、因式分解

x 2 1 x
第一章 多项式


2 1 x
f x x 6x 1
4 2

2 1 x 2 1


x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
第一章 多项式
4 f x x 4 在 Q x , R x , C x 求 例1.5.2：
上的标准分解式。
f x x 2 2 x 2 2 ; 解： 在Q上：
在Q x 上
2 f x x 2 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2
2 2 f x x 1 x 在R x 上 2 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
第一章 多项式
则 p x f x p x , f x 1. 证：设 p x , f x d x , 由 d x f x d x 1 或 d x cp x . 若 d x 1, 则 p x , f x 1. 若 d x cp x , 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x 则 p x f x 或 p x g x.
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
f x g x h x g n, h n. 2、若 f x 可约，
由假设知 g x , h x 均可分解为不可约多项式的乘积。 问题： 多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积 是否唯一？
fs x .
问题： f x F x, f 0, f x 是否可分解为 不可约多项式的乘积？ 定理1.5.1：F x 中任一个n n 0 次多项式 f x 都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
第一章 பைடு நூலகம்项式
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x p1 x p2 x
第一章 多项式
pr x q1 x q2 x
qs x .
故存在某个qi 使 p1 ( x) qi ( x) 由于 p1 x q1 ( x)q2 (x) qs (x)，
为方便起见不防设 qi ( x) 就是 q1 ( x) 。
§1.5 多项式的分解
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？ 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。 对于F x 中任一个多项式 f x , c F 及cf x 总是 f x 的因式。 这样的因式称为平凡因式。
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
还是采用辗转相除法。
第一章 多项式
问：如何求 f x 的标准分解式？ 在 Q x, R x 中的标准分解式。
2 即有 x 1 f x 。
4 2 f x x 3 x 2, 例1.5.1：求
解： 利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
首项系数 k1 , , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解 式。 1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
第一章 多项式
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x , g x .
第一章 多项式
若 f x p1 x p2 x
pr x , 取 c1c2
cr 1.
则 f x c1 p1 x c2 p2 x cr pr x , 可见 f x 分解式不唯一。
F x 中任一个次数大于零的多项式 定理1.5.2： f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x 在数域F上可约。
第一章 多项式
由定义可得： ① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x 2 2 在C上 可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质 性质1 若 p x 不可约，则 cp x 也不可约， c 0, c F . f x F x , 性质2 若 p x 是不可约多项式，
f x 我们感兴趣的是，除了平凡因式外， 还有没有其他的因式？
第一章 多项式
一、不可约多项式 1、定义 定义1.5.1 设 f x 是 F x 中次数大于零的多项式，
f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域 如果在 F x 中，
若 f x 除平凡因式外，在 F x 中还有 F上不可约。 其他因式， 则称 f x 在数域F上可约。 等价定义：如果 F x 中一个 n n 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式 g x , h x 的积，即 f x g x h x , 则称
在R上：f x x 2 x 2 x 2 2 ;
在C上： f x x 2 x 2 x 2i x 2i . 例1.5.3：在R上分解





2 2 f ( x ) x 2 2 x 1 x 2 2x 1 解：
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解 成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
第一章 多项式
f x p1 x p2 x
pr x ,
f x p1 x p2 x
pr x q1 x q2 x