习题二1．某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22含量 食物营养成分一 二 三 四 五 六 需要量 A 13 25 14 40 8 11 ≥80 B 24 9 30 25 12 15 ≥150 C18 7 21 34 10 0 ≥180 食物单价（元/100g ）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=01801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为12312312312312312312123max 801501801324180.525970.41430210.84025340.9812100.311150.5,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪≥⎩2．写出下列线性规划的对偶问题（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+-+-=0,451342max 21212121x x x x x x x x 【解】12121212min 42354,0w y y y y y y y y =-+-+≥-⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=++-=0,8310232min 32132121321x x x x x x x x x x x Z 无约束， 【解】121212212max 108223130w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-=-⎪⎨≤⎪⎪≥⎩无约束；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束43214321432143214321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123123123123123123min 8106107416822644530,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； （4）12341234134123411234max 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束【解】123412341341234111234max 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束对偶问题为： 12345123451212312312345min 962+510362223566270,000w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x =--+--+-≥-⎧⎪-+=⎪⎪--=⎨⎪-++=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 3．考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式C B B －1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为123123123max 427212453200,1,2,3jw y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。

(2)对偶问题最优单纯形表为C(j) 4 2 7 0 0 R. H. S. Basis C(i) y1 y2 y3 y4 y5 y3 7 0 -1/5 1 4/5 -1/528/5y1 417/5-3/52/54/5C(j)-Z(j)0 -11/5 0 -16/5 -1/5w =42.4对偶问题的最优解Y ＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z ＝42.4（3）C B =(7,4),141553255B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 4155(7,4)(16/5,1/5)3255X ⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ (4)由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式121244237x x x x +=⎧⎨+=⎩ 得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。

4．证明下列线性规划问题无最优解⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-=-+--=无约束321321321321,0,23232222min x x x x x x x x x x x x Z 证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为1212121221max 3221222320,w y y y y y y y y y y =++≤⎧⎪-≤-⎪⎨-+=-⎪⎪≥⎩无约束由约束条件①②知y 1≤0，由约束条件③当y 2≥0知y 1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。

5．已知线性规划123123123123123max 152055556631070,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥⎩无约束的最优解119(,0,)44TX =，求对偶问题的最优解． 【解】其对偶问题是：123123123123123min 56753155610205,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++=⎪⎪≥⎩ 由原问题的最优解知，原问题约束①等于零，x 1、x 2不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，y 1＝0；解方程232353155y y y y +=⎧⎨+=⎩ 得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w ＝55/2＝27.5 6．用对偶单纯形法求解下列线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,1022832543min 1321321321321x x x x x x x x x x x x Z ）（【解】将模型化为12312341235min 34523822100,1,2,3,4,5jZ x x x x x x x x x x x x j =++⎧---+=-⎪---+=-⎨⎪≥=⎩ 对偶单纯形表：c j3 4 5 0 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b0 0X 4 X 5 －1 [－2] －2 －2 －3 －1 1 0 0 1 －8 －10 C(j)-Z(j) 3 4 5 0 0 0 0 3X 4 X 1 0 1 [－1] 1 －5/2 1/2 1 0 －1/2 －1/2 －3 5 C(j)-Z(j)17/23/25 3 X 2 X 1 0 1 1 0 5/2 －2 －1 1 1/2 －1 3 2 C(j)-Z(j)111b 列全为非负，最优解为x ＝(2，3，0)；Z ＝18⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≥++=0,022443min 221212121x x x x x x x x Z ）（【解】将模型化为12123124min 344220,1,2,3,4j Z x x x x x x x x x j =+⎧--+=-⎪++=⎨⎪≥=⎩3 4 0 0 b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 3 0 [-1] -1 1 0 -4 X 42 1 0 1 2 Cj －Zj34 0 0 X 1 3 1 1 -1 0 4 X 40 0 [-1] 2 1 -6 Cj －Zj 0 1 3 0 X 1 3 1 0 1 1 -2 X 24 0 1 -2 -1 6 Cj －Zj51出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≤++=0,153102243242min )3(2121212121x x x x x x x x x x Z【解】将模型化为12123124125min 2423242103150,1,2,3,4,5j Z x x x x x x x x x x x x j =+++=⎧⎪--+=-⎪⎨--+=-⎪⎪≥=⎩c j 2 4 0 0 0 bX BC BX 1X 2X 3X 4X 5X 3 0 2 3 1 0 0 24 X 4 0 -1 -2 0 1 0 -10 X 50 -1 [-3] 0 0 1 -15 Cj －Zj 2 4 0 0 0 X 3 0 1 0 1 0 1 9 X 4 0 -1/3 0 0 1 －2/3 0 X 241/3 1 0 0 －1/3 5 Cj －Zj2/34/3最优解X=(0，5)；Z ＝201234123412344min 23562322330,1,,4jZ x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≥⎪-+-+≤-⎨⎪≥=⎩L （）【解】将模型化为12341234512346min 23562322330,1,,6jZ x x x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧----+=-⎪-+-++=-⎨⎪≥=⎩L Cj 2 3 5 6 0 0b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6X 5 0 -1 [-2] -3 -4 1 0 -2 X 6-2 1 -1 3 0 1 -3 Cj －Zj 2 3 5 6 0 0 X 2 3 1/2 1 3/2 2 -1/2 0 1 X 60 -5/2 0 [-5/2] 1 1/2 1 -4 Cj －Zj 1/2 0 1/2 0 3/2 0 X 2 3 [-1] 1 0 13/5 -1/5 3/5 -7/5 X 35 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5 Cj －Zj 0 0 0 1/5 8/5 1/5 X 1 2 1 -1 0 -13/5 1/5 -3/5 7/5 X 35 0 [1] 1 11/5 -2/5 1/5 1/5 Cj －Zj 0 0 0 1/5 8/5 1/5 X 1 2 1 0 1 -2/5 -1/5 -2/5 8/5 X 23 0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5 Cj －Zj1/58/51/5原问题有多重解：X (1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X (2)＝(8/5，1/5，0)；Z ＝19/5 如果第一张表X 6出基，则有Cj 2 3 5 6 0 0b X B C B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6X 5-1-2-3-41-2X 60 [-2] 1 -1 3 0 1 -3 Cj －Zj 2 3 5 6 0 0 X 5 0 0 [-5/2] -5/2 -11/2 1 -1/2 -1/2 X 12 1 -1/2 1/2 -3/2 0 -1/2 3/2 Cj －Zj 0 2 4 9 0 1 X 23 0 1 1 11/5 -2/5 1/5 1/5 X 121 0 1 -7/5 -1/5 -2/5 8/5 Cj －Zj223/54/53/57．某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见表2-23．表2-23产品材料消耗原材料A B C 每月可供原材料（Kg ）甲 乙 丙2 1 1 200 1 23 500 2 2 1 600 每件产品利润413（1）怎样安排生产，使利润最大．（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少．（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg ，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A 和C 两种产品．（6）由于市场的变化，产品B 、C 的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划． （7）工厂计划生产新产品D ，每件产品D 消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg ，2kg 及1kg ，每件产品D 应获利多少时才有利于投产． 【解】（1）设 x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为123123123123123max 43212002350026000,0,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩ 最优单纯形表：C(j) 4 1 3 0 0 0 R.H.S. Ratio X B C B X1X2 X3 X4 X5 X6 X1 4 1 1/5 0 3/5 -1/5 0 20 X3 3 0 3/5 1 -1/5 2/5 0 160 X60 0 0 -1 0 1 400C(j)-Z(j)-8/5-9/5-2/5Z=560最优解X=（20，0，160），Z=560。