几何概型的应用及其变式
山东枣庄市第二中学（277400） 张同军
例.在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加．小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台.不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？
解析: 利用几何概率可以解释这个问题．由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm ，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm ，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为P(A)=2
2 圆周长CD 即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件（即若A ·B 表示事件A 与B 同时发生，则P(A ·B)=P(A )·P(B)，设A i ＝{指针与阴影连续重合i 次}，则
P(A 1)=0.08
P(A 2)=0.082=0.0064
P(A 3)=0.083=0.000512
P(A 4)=0.084=0.00004096
可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭．由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖．所以，这是一个骗人的把戏．
变式1．如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a ，现有一直径等于3
a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
分析: 因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径．
解：如图，正三角形ABC 内有一正三角形A 1B 1C 1，其中AB=a ，A 1D=B 1E=A 1F=6
1a ，
当圆心落在三角形A 1B 1C 1之外时，硬币与网格有公共点．
答：硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82．
变式2.平面上画了彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币，任意地抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？
解：设事件A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM ，垂足为M,线段OM 的长度的取值范围为[0,a],其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D 的几何测度．当0<OM ≤a 时，要使硬币不与平行线相碰，区间(r,a]的长度a-r 就是满足事件A 的区域d 的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为a
r a -． 点评: 该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D 和区域d ，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画．
练习:
1.在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
解：P(A)=ππ+=⨯+⨯⨯+=3241
41442222测度测度
D d 2．如图，已知矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在正方形内任取一点P ，求∠APB>900
的概率？。