2021/2/13
3、运动学方程： x Acos( t 0 )
质点动力学
微积分关系
A
sin(
t
0
)
m
cos
t
0
2
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
T/4
a
o
v
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T/4
T
v
超前
t
x
2
a 超前 v
2
4、简谐振动的特征物理量：
t
)
弹性势能：
Ep
1 2
kx 2
1 2
kA2
cos2 (
t
)
机械能：
E
Ek
EP
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
系统的动能、势能都随时间变化，动能达最大 值时，势能为零，势能达最大值时，动能为零。但 系统的总机械能守恒。
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谐振动的旋转矢量投影表示法
A
tt 时 o
t
x
x Acos(t )
正弦）规律变化的振动。
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x Acos( t 0 )
—— 简谐振动的运动学定义
2、动力学特征： (1) 弹簧振子
F kx 动力学方程：
d2x dt 2
2
x
0
质点动力学
(2) 单摆
M mgl
动力学方程：
d 2
dt 2
2
0
合 力（或力矩）的大小与物体的位置（或角
位置量）成正比关系并反号，则物体的运动就是 谐振动。使物体作谐振动的力（或力矩），称为 线性回复力（或线性回复力矩）。
A A1 A2 两分振动相互加强 若两分振动反相:
t 20 t 10 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2 两分振动相互减弱 如 A1=A2 , 则 A=0
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例题1、一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根质据点此动力学
图，它的周期
；用余弦函数描述时初相位
质点动力学
振幅： 旋转矢量的模 角频率：旋转矢量的角速度 初相： 初始时刻旋转矢量与坐标轴的夹角 相位： t时刻旋转矢量与坐标轴的夹角
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2 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
合振动:
x1(t ) A1 cos(t 10 ) x2 (t ) A2 cos(t 20 )
。
从2s开始再经过T/4，质点的振动方向
。
2
x
1
7
6
6
t 7
t 12
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T 2 24 3.43s
7
4
3
3
质点动力学
例题2、一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为 4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下 拉10cm，然后由静止释放并开始计时。求： (1) 物体的运动学方程； (2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。
6
t 0.074s
1 2
x
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例 3 : 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如 图所示，求（1）两个谐振动的相位差；（2）两个谐 振动的合成振动的振动方程
解：由图可知，
X (cm)
5
A1 A2 5cm
o 12 34
t(s)
T 4s( s-1)
2
A1
由旋转矢量图可得:
何线 析 量 流
法法 法
基本原理
惠更斯 原理
叠加 原理
波的反 射、折 射、衍
射
波的干涉 驻波
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描述波动的特征量
质点动力学
1、波长 同一波线上相邻的位相差为2π的两质点间的距离
2、周期、频率 周期——波前进一个波长所需的时间 频率——单位时间内通过某固定点的完整波的个数
3、波速
波动是振动状态（位相）的传播，振动状态在单 位时间内传播的距离称为波速，又称相速
1 T
u
T
u Tu
平面简谐波
质点动力学
简谐波 如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质 中各质点均作同频率、同振幅的谐振动，这样 的波即为简谐波。
平面简谐波——波面为平面的简谐波
质点动力学
平面简谐波的数学描述：
y( x, t )
A cos[ (t
x u
)
0
]
y ( x,t )
3 O
2
X
1 0
,
2
3
2
(或
）
2A2ຫໍສະໝຸດ 2021/2/13由矢量合成法则得：
A1
3
A A12 A22
2
4
X
5 2 (cm)
A2
A
4
∴合振动方程为:
x 5 2 cos( t ) cm
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机械波
质点动力学
产
平面简谐波
生
条 件
定特 义征
描述方法
能量
量 几图 解 能 能
合振动是简谐振动，其频率仍为
A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
tg 0
A1 sin1 A1 cos1
A2 sin2 A2 cos2
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讨论 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) 若两分振动同相：
t 20 t 10 2k k 0,1,2,
解 (1) k f 200N / m
x
0
k 7.07 rad / s
m
x 0.1cos(7.07t)
x
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质点动力学
(2) 物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力
f m(g a)
a 2x 2.5m / s2
f 4(9.8 2.5) 29.2N
(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间
质点动力学
机械振动和机械波
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机械振动
简谐振动
阻尼振动
振振 振 振简
动动 动 动谐
的的 的 能振
定特 描 量动
义征 述
的
量方
合
法
成
基本公式
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质点动力学
受迫振动
基本公式
质点动力学
1、简谐振动定义：一个作往复运动的物体，如果其偏
离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或
1） t (x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
tan v0
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
x0
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5、振动的能量
动能：
Ek
1 2
m 2
1 2
mA2 2
sin2 (
质点动力学
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
1、振幅 A xmax
2、周期 T 2π
3、圆频率 2π 2π
T
A
x02
v02
2
弹簧振子 k m
单摆 g l
复摆
mgl I
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4、相位 (位相,周相) t
x Acos(t )
质点动力学