U ( x, y ) = A exp ( j 2π f x x )
即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布； *上式就是一个传播方向为(cosα =λƒx、cosβ=0)的单色平面波的复振幅表达式。
1、光波的数学描述
(3)空间频率为负数的情况
fx =
1 cos α = <0 X λ
fy =
1 =0 Y
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学•第2版》电子教案
第三章
标量衍射理论
周哲海 吕乃光 编著
机械工业出版社
本章主要内容 1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波， 在xy平面上的复振幅为：
U ( x, y, z ) = a exp ( jkz cos γ ) exp ⎡ ⎣ jk ( x cos α + y cos β ) ⎤ ⎦ = a exp ⎡ jkz 1 − cos 2 α − cos 2 β ⎤ exp ⎡ ⎣ jk ( x cos α + y cos β ) ⎤ ⎦ ⎣ ⎦ = A exp ⎡ ⎣ jk ( x cos α + y cos β ) ⎤ ⎦
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？ 如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
1 cos α = X λ 1 cos β fy = = Y λ fx =
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U ( x, y ) = A exp ⎡ ⎣ jk ( x cos α + y cos β ) ⎤ ⎦
exp ( jkr ) U ( P ) = c ∫∫ U ( P0 ) K (θ ) ds r Σ
其中，U(P0)是波面上任意一点P0的复振幅，U(P)是光场中任一观察点P的复振 幅，r是P0到P的距离，θ是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角，K(θ)是与θ有关的 倾斜因子，C为常数。
2、基尔霍夫衍射理论
U ( P) =
a0 jkr e r
( x − x0 ) + ( y − y0 ) r ≈ z+
2
2
2z
a U ( P) = 0 e z
⎡ ( x − x )2 + ( y − y )2 ⎤ 0 0 ⎥ jk ⎢ z + 2z ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
2 2⎤ a0 jkz j 2kz ⎡ ⎢( x − x0 ) + ( y − y0 ) ⎦ ⎥ ⎣ = e e z
1、光波的数学描述
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u ( x, y, z , t ) = a ( x, y, z ) cos ⎡ ⎣ 2πν t − ϕ ( x, y, z ) ⎤ ⎦
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和 ϕ(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
U ( x, y, z ) = A exp ( jkx cos α )
（2）等位相线方程为
x cos α = C
等位相线的分布如右图所示，是一组垂直于x轴的平行线，而且间距相等。 由于等相位线上的振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以 用位相相差2π的两相邻等位相线的间隔X表示。
1、光波的数学描述
A U (P) = jλ r r r r exp ( jkr ′ ) ⎡ cos ( n , r ) -cos ( n , r ′ ) ⎤ exp ( jkr ) dS ⎢ ⎥ ∫∫ ′ r 2 r ⎣ ⎦ Σ
其中，P′是照明孔径的点光源，P0是孔径上某 一点，P为孔径后面某一观察点，r′和r分别P′ 和P到P0的距离（图3-3）。上式称为菲涅耳— 基尔霍夫衍射公式，它为惠更斯—菲涅耳原 理提供了更可靠的波动理论基础。
常量位相因子 思考题：
二次位相因子
（1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？
1、光波的数学描述
发散球面波
会聚球面波
9重要概念：波前，等相位面 当等相位面与某一平面相交，则得到一系列的交线，这些交线就是光 波在该平面上的等相位线！
1、光波的数学描述
⎛ cos α cos β A⎜ , λ ⎝ λ ⎡ cos β ⎞ ⎤ ⎞ ⎛ cos α = U x , y exp − j 2 π x + y ⎟ ⎥dxdy ( ) ⎟ ∫∫ ⎜ ⎢ λ λ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ −∞
∞
此时，称A(cosα/λ，cosβ/ λ)为xy平面上复振幅分布的角谱。 9 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1) 单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的单色平面波 的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的值分别取决 于角谱的模和幅角。
⎤ U ( x, y ) = A exp ⎡ ⎣ j 2π ( f x x + f y y ) ⎦
1、光波的数学描述
9 假定平面波沿空间传播，则可进一步确定光波沿z方向的空间频率为 cos γ fz = λ 此时，
⎤ U ( x, y, z ) = a exp ⎡ ⎣ j 2π ( f x x + f y y + f z z ) ⎦
而且满足如下关系
f x2 + f y2 + f z2 = 1
λ
2
= f2
（1）思考题：若用空间角频率表示平面波的复振幅分布，结果如何？ 已知
ϖ x = 2π f x ϖ y = 2π f y
1、光波的数学描述
(2) 对于如下图所示的情况，光波从P0点沿P方向传播，传播矢量在xhe y 方向上与z轴的夹角分别是 θx 和 θy,，则平面波在xy平面上的复振幅分布 可表示为什么？ 提示：
2、基尔霍夫衍射理论
2.3 光波传播的线性性质 根据基尔霍夫衍射公式
U ( P) = 1 jλ
∫∫ U ( P0 ) K (θ )
Σ
exp ( jkr ) dS r
令 则有
1 e jkr h ( P, P0 ) = K (θ ) jλ r
U ( P ) = ∫ ∫ U ( P0 ) h ( P, P0 ) dS
−∞ ∞
若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为
U ( x, y ) = ∫ ∫ U ( x0 , y0 ) h ( x, y; x0 , y0 ) dx0 dy0
−∞
∞
这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以 看作是一个线性系统！
2、基尔霍夫衍射理论
⎤ exp ⎡ ⎣ j 2π ( f x x + f y y ) ⎦
代表一个传播方向余弦为(cosα =λƒx、cosβ= λƒy)的单色平面波。 因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加, A(ƒx,ƒy)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
1、光波的数学描述
9 A(ƒx,ƒy)也可用方向余弦表示
U ( x , y , z ) = a ( x, y , z ) e
jϕ ( x , y , z )
称之为单色平面波在P点的复振幅，它与时间t无关，仅是空间位置坐标 的函数。光强分布则为
I=U
2
= UU ∗
1、光波的数学描述
1.2 球面波 单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
U ( P) =
2.2 基尔霍夫衍射公式
91882年，基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本
上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，并对其进行了修正。 9基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论。 9对于单色波，基尔霍夫从标量波动方程
1 ∂ 2u ∇ u− 2 2 =0 c ∂t
2
出发，利用格林定理这一数学工具，采用适当的边界条件，推导出无限大 不透明屏上孔径后面观察点P的场分布为
r = z + ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = z
2 2 2
( x − x0 ) + ( y − y0 ) 1+
考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
( x − x0 ) + ( y − y0 ) r ≈ z+
2
2
2z
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
u ( x, y, z , t ) = Re a ( x, y, z ) e
{
− j⎡ ⎣ 2πν t −ϕ ( x , y , z ) ⎤ ⎦
= Re a ( x, y, z ) e jϕ ( x , y , z ) e − j 2πν t
{
}
}
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用 复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
−∞
⎤ A ( f x , f y ) = ∫ ∫ U ( x, y ) exp ⎡ ⎣ − j 2π ( f x x + f y y ) ⎦dxdy
−∞
∞
其中，
fx =
cos α
λ
fy =
cos β
λ
9平面上的复振幅分布U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各 频率分量的权重因子是A(ƒx,ƒy)，而且