4.7.2、频率域滤波基础：
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
后处理
f (x , y)
g (x , y)
g(x, y) 1 H(u, v)F(u, v)
陷波滤波器（带阻滤波）
H
(u,
v)

0
(u, v) ( M , N ) 22
第4章 频率域滤波基础
4.7.1、频率域的其他特性：
M1 N 1
i 2 ( ux vy )
F(u, v)
f ( x, y)e M N
x0 y0
①变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级
M1 N 1
F(0,0) f ( x, y) MN f (x, y) (4.6 21)
(1)x y fPQ ( x, y)
FPQ (Q
H LP (u, v) FPQ (u, v) (1)x y real gPQ ( x, y) gMN ( x, y)
图4.36
4.7.4 空间域滤波和频域滤波之间的对应关系
被高通滤波的图像比原始图像少了灰度级的平滑 过渡而突出了边缘等细节部分
陷波滤波结果
高通滤波结果 高通滤波改进结果
陷波滤波器将原点 设置为0，平均灰 度为0，负灰度置 为0。
该高通滤波器原点为 0，因此几乎没有平 滑的灰度级细节，且 图像较暗。
在高通滤波器中加 入常量，以使F(0,0) 不被完全消除。 （防止直流项消除， 保持色调）
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的频率域滤波表示为：
H(u, v) F(u, v) 由卷积定理，该运算对应的空间域运算为：
M 1 N 1
f ( x, y)★h( x, y) f (m, n)h( x m, y n) (4.6 23) m0 n0
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器进行线
1 H ILPF (u, v) 0
D(u, v) D0 D(u, v) D0
h33 ( x, y)
图4.38
H (u, v) : 602 602 g(x, y) 1 H(u,v)F(u,v)h33( x, y)☆ f602602( x, y)
H33 (u, v)
图4.39
空域线性滤波 的结果
4.8.1 理想低通滤波器
截断傅里叶变换中的所有处于指定距离D0之外的高频成分
对应空间域高斯高通滤波器为
h(x)
2
Ae2 212x2
1

2
Be2
2
2 2
x2
2
(4.7 8)
图4.37
频域高斯低通滤波器
频域高斯高通滤波器
空域高斯低通滤波器及模板
空域高斯高通滤波器及模板
例4.15
f ( x, y) : 600 600 F (u,v) : 600 600
错误的填充图像会导致错误的结果
4.7.3 频率域的滤波步骤：
1、对要滤波的图像 fMN ( x, y) 进行填充得到 fPQ ( x, y) ，典 型地：P=2M,Q=2N
2、填充图像，用 (1)x y乘以输入图像进行中心变换
fPQ ( x, y) (1)x y

F(u P ,v Q) 22
3、变换到频域 F(u, v) fPQ ( x, y)(1)xy
4、生成一个实的、中心对称的滤波器
H
PQ
(u,
v)
，中心在
(
P 2
,
Q 2
)
频域滤波: G(u,v) F(u,v)H (u,v)
5、变换到空间域: gPQ(x, y) 1 F(u, v)H(u, v)
性滤波
ab
g(x, y)
w(s,t) f (x s, y t) (3.4 1)
sa tb
(4.6-23)和(3.4-1)本质上是相似的；相差之处只在于：常数、负号及求和的
上、下限；
在实践中，我们宁愿使用(3.4-1)和较小的滤波器模板来实现滤波处理；
滤波在频率域中更为直观，可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导；
6、取实部:
real gPQ ( x, y)
7、取消输入图像的乘数: gp( x, y) real gPQ ( x, y) (1)xy
8、提取M N 区域: gMN ( x, y) gPQ ( x, y) 的对应部分
fMN (x, y)
fPQ ( x, y)
傅里叶频谱显示了±450的强边缘，在垂直轴偏左的 部分有垂直成分（对应两个氧化物突起）。
频率域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
后处理
f (x , y)
g (x , y)
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像
频率域高斯低通滤波器函数 H(u) Aeu2/22 (4.7 5)
对应空间域高斯低通滤波器为 h(x) 2 Ae222x2 (4.7 6)
频率域高斯高通滤波器函数
H(u)

Aeu2 /212

Be
u2
/
2
2 2
(4.7 7) A B , 1 2
1 其它
设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留其 它傅里叶变换的频率成分不变
由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低， 因此几乎没有平滑的灰度级细节
低通滤波器：
使低频通过，高频衰减的滤波器
被低通滤波的图像比原始图像少了尖锐的细节部分 而突出了平滑过渡部分
高通滤波器：
使高频通过，低频衰减的滤波器
x0 y0
②当从变换的原点移开时，对低频对应着图像的慢变化分量， 如图像的平滑部分
③进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越 快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分
F(u, v) F(u, v) ei(u,v)
从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓 线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也 呈圆形分布。