i 1
i 1
E(Yn ) E
X n n
0
D(Yn ) (
1 )2 D( X ) (
n
1 )2 n 2 1 n
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2
近似
当n 1时，Yn ~ N (0,1)
Yn
X
E(X) D( X )
n 近似
X Xi ~ N (n,n 2 )
i 1
(n 1)
3º 中心极限定理的意义
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数.
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注1
Yn
X
E(X) D( X )
n
( X Xi )
i 1
n
E( X ) E( Xi ) n，
i 1
n
Yn是 Xi的标
n
n
i 1
D( X ) D( Xi ) D( Xi ) n 2 准化随机变量
无论Xi ( i=1,2,···) 具有怎样的分布，只要满足定理4.6的条件，则当n充分 大时，其和
近似地服从正态分布.
n
X Xi
i 1
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定理4.7(德莫佛－拉普拉斯定理)
德莫佛 拉普拉斯
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
林德贝格-列维中心极限定理 德莫佛－拉普拉斯定理
中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加 时, 其和的分布趋于正态分布.
100 20
12
由定理4.6, 随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),
P{V 105} P{V 20 5 105 20 5}
100 20 100 20
12
12
P{Z 0.387} 1 P{Z 0.387}
1
0.387
1
t2
e 2 dt 1 (0.387) 0.348.
由德莫佛－拉普拉斯定理知,
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保险公司亏本的概率
P{10000X 10000 200} P{X 200}
P
X np np(1 p)
200 np
np(1
p)
P
X np np(1 p)
2.321
1 (2.321) 0.01 .
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四、内容小结
两个中心极限定理
n Xk E n Xk
n
Xk n
标准化变量Yn k1
k1 D n X k
k1
n
k1
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的分布函数 Fn( x) 对于任意x满足
n
Xk n
lim
n
Fn
(
x
)
lim
n
P{Yn
x}
lim P{k1
n
n
x}
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.6表明:
中心极限定理的意义 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实. 在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
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三、典型例题
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压Vk (k 1,2,20), 设它们是相互独立的随机变量,
E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1,2,,n),
根据定理4.6得
lim P n
n np
np(1 p)
x
lim n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
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1º定理4.7表明:
注
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算 二项分布的概率.
k e
k!
( np) (k 0, 1, 2,,n)
问题： 泊松分布和正态分布都可作为二项分布的近似分布，那么哪一种 近似更好呢？
① 当n很大，p很小，= np不大时，
② 当n很大时，
可用正态分布.
可用泊松分布； ( p 可较大)
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下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近. 六安市长安小学
的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度
等) 的作用, 问题: 在什么条件下，
n
X Xi的分布当n 时
i 1
以正态分布为其极限分布？
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二、基本定理
定理4.6（林德贝格-列维中心极限定理）
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) , D( Xk ) 2 0 (k 1,2,), 则随机变量之和的
第四章
第二节 中心极限定理
一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、内容小结
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实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差X是大量微小的偶然因素Xi 造成的微小误差的总和:
n
X Xi.
i 1
所这有些这因些素不包同括因:素瞄所准引误起差的、微测小量误误差差相、互子独弹立制.造过程方面 (如外形、重量等)
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
证 根据第三章第二节例题可知
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
n
n Xk ,
k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一 (0－1)分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
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2π
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例2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该
年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内 的这项保险中亏本的概率.
解 设 X 为一年中投保老人的死亡数,
则X ~ B(n, p), 其中n 10000, p 0.017,
20
且都在区间(0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk ,
k 1
求 P{V 105}的近似值.
解
E(Vk ) 5,
D(Vk1,2,,20).
Z V E(V ) V 20 5
D(V )
100 20
12
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Z V E(V ) V 20 5
D(V )
即 若n ~ B(n, p) (n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量：
Yn
n
E(n ) D(n )
n np
np(1 p)
近似
~ N (0,1) (当n 1时)
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2º由泊松定理也知
当n 1，p很小时(一般地，n 10，p 0.1)，有
P{n k} Cnk pk (1 p)nk