y x (为常数) 我们见过这样形式的函数吗2 ？
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。y x
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S = a²， 这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
7
例1:已知f (x) m2 m 1 x2m3是幂函数，
求m的值。
解:因为f (x)是幂函数
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
8
练习1：
已知函数 f (x) m2 3m 3 xm22 是幂函数,
并且是偶函数，求m的值。
解:因为f (x) m2 3m 3 xm22是幂函数
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
19
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x1
定义域 R 值域 R
奇偶性 奇函数
R [0，+∞） 偶函数
R [0，+∞） ，0U（0，+） R [0，+∞） ，0U（0，+）
2
1
2
所求的幂函数为y
x
1 2
.
10
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
(4)
1
y x2
(5)
y x1
21
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3 22
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
幂函数
1
说出下列函数的名称
y kx (k 0) 正比例函数
y k (k 0, x 0) 反比例函数 x
y kx b (k 0) 一次函数 y ax2 bx c (a 0) 二次函数 y c (c为常数) 常数函数 y ax (a 0且a 1) 指数函数 y loga x (a 0且a 1) 对数函数
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
5
二、幂函数与指数函数比较
名称
3
思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？
(1) y x
(2) y x2
(3) y x3
1
(4) y x2
（1）都是以自变量x为底数； （2）指数为常数； （3）自变量x前的系数为1; （4）只有一项。
(5) y x1
4
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量， 为常数。
f (x)是奇函数
11
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
12
函数 y x的图像
定义域： R
值 域： 数
13
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
是V = a³， 这里V是a的函数 。
y
3
x
问题4:如果1 正方形场地的面积为S，那么正方形的边
长问题a=5：，S如2果某这人里tas是内S骑的车函行数。进了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t1 km/s
，这里v是t的函数 。
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表
示,则它们的函数关系式将是:
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数 14
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0}
值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
15
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
16
x y=x3
y=x1/2
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数 6
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4
-6
17
-8
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
18
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
m2 3m 3 1 解之得: m 2或m 1
又因为f (x)是偶函数
m 1不符合题意， 舍去
m 2
9
练习2 :已知幂函数y f (x)的图像过点(2, 2), 试求出这个函数的解析式.
解: 设所求的幂函数为y x
函数的图像过点(2, 2)
这种方法 叫待定 系数法
2 2 ,
即2
1 2
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
增函数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
（1，1） 20
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3