u r
dp dx
1 r
r
(r
u ) r
能量方程:
计及粘性力:u
t x
v
t y
a
2t y 2
Pr cp
(
u
)
2
y
低速流动: uxt vyt ay2t2
u
t x
vr
t r
a r
r
(r
t ) r
注意(1)忽略压力变化时,动量方程与能量方程形式完全相同,ν=a时, 解可以通用.
(2)用上述方程时,必须满足假定条件:二维.稳态.无内热源.常物性. 不可压缩.
厚度就是势流区减缩的平均距离.
1u udy udy
0
0
常物性时, 1 01uu dy
1
1 0
u u
dy
纵掠平板时
1
1 2.7
δ1是x的函数.
2、动量厚度δ 2 由于边界层的存在,流体有动量损失,类似地定义δ2。
理想流体质流量:
udy
0
粘性流体质流量
udy
0
由于边界层的存在,动量损失:
Pr>1,舍去
4并将
d
dx
代入上式得:334xddx3114P3r
令: 3Y
有: Y 34xddYx 1413Pr 通解: Y 1413PrCx3/4
设热边界层在x0处开始形成,即: xx0 0 Y0
C1413Pr x03/4
Y
114P3r1xx033//44
t
1P.0r21/63 3
1
x0 x
3/4
d
(twt dx
) u twt
2
若 u t tw 与x无关,则有:
cpu
ddx2
即:
Nu Re Pr
ddx2
Stddx2
4.换热厚度(传导厚度) 4
由:
x
twxt
t
y
y0
定义:
4
x
twx
t
t
y
y0
已知热边界层中温度分布可求换热厚度,求出换热厚度则求得换热系数.
y δ
(1- u/u∞) u/u∞
位移作功转变为热量=控制容积内流体能量的变化率
1)热对流携带的能量E: U (u2v2w2)/2
X方向进入控制体能量:
uEdydz(uEdydz(uxE)dxdydz)(uxE)dxdydz
三个方向进入控制体总能量: 3 (Evi ) dxdydz (a)
2)导热进入的能量: X方向:
i 1
xi
某截面上焓增量:
u(hh)dy
0
定义焓增厚度
2u(hwh) u(hh)dy 0
u(hh)dy uhdy
2
0
u(hwh)
0
uhw
h 为以主流的焓值为基准的焓增.
常物性时
uhdy
2
0
uhw
u(tt)dy
对于理想气体有:
2
0
u (tw t )
将焓增厚度代入能量方程得:
cpu
ddx2
2u1
du dx
Du
D
xx
x
yx
y
zx
z
X
(7 9)
式中:体积力: X g x
法应力:
xx
P
2
u x
' ( u
x
v y
w) z
μ’为第二粘性系数. ' 2
3
切应力:
yx
(
v x
u y
)
zx(wxu z(7 5)将各应力表达式代入方程得纳维-斯托克斯方程. 当动力粘度是常数时整理得7-14式:
3
i1
(Evi )
xi
3 i1
qi xi
3 i1
3 ( jivi )
j1 x j
3 i1
X ivi
(g)
将动量方程代入上式,整理得能量方程的内能表达式:
Dui divq 3
D
1
i1
3
j 1
ji
vi x j
divq Pdivv
23
4
(7 18)
1—内能随时间的变化率;2 —由导热传入的热流变化率;3 —压力对可
ddxu2 2u ddux1 w
如果 u 为常数
u2
d 2
dx
w
d 2
dx
uw2
C2f
动量损失厚度沿x的变化率就是摩擦系数的一半.
7.7.3边界层能量方程: 由微分方程:
7.7.4焓厚度2
u
(ut) x
(vt) y
a
2t y 2
由于壁面与流体的温度不同,存在热边界层,热边界层内有温差,流体的
焓值变化.理想流体焓值: h 粘性流体焓值: h
δ1
x
y δ
u/u∞(1- u/u∞)
δ2
x
y
y
tw
t∞
u(t-t∞)
δ
δ
Δ2
x
u∞(tw-t∞)
Δ4
x
边界层积分方程的求解实例:
设沿平板的、常物性(Pr>1)层流流动，壁面无喷注、来流速度为常数.
1.求解速度边界层
动量积分方程:
d dx
0
u
u udy
u y
y0
设:
uabycy2dy3
由边界条件: y0,uo,y2u20;y ,uu,uy0;
能量积分方程:
d dx
t 0
t
t udy
a t y
y0
设: ttwabycy2dy3
由边界条件 y 0, 0, 2 0; y
y 2
确定温度剖面为:
ttw t tw
23yt
12
y
t
将速度及温度剖面代入能量积分方程
3
d
dx
t ,
t
u tt
0
,
y
dyayt
0;
y0
得引入参数 :t
ddxu 230223804 32Pr1
能量方程:
Dt
D
0
divv0
divqy2t2
u y
2
2t
得: y2
u y
2
解得:
2t y 2
U L
2
t y
U L
2
y
C1
t
2
U L
2
y2
C1
y
C2
由: y0,tt0;
yL,tt1
得温度分布:
tt0 t1t0
LyE
cPr 2
Ly1Ly
E cC pUt12t0
热流密度:
.
M—质量通量密度.kg/m2 s ;Mx=ρu MY=ρv MZ=ρw
下标变量表达式:
(vi ) 0 xi
(7 4)
矢量表达式:
div(V )
0
(7 2)
又: div(V)(uxyvwz )uxvywz divVDD
所以,
D
div(V )
0
D
(7 3)
常物性时有:
divV 0
7.2.动量方程: X方向分量:
确定速度剖面为:
u u
23y
12
y
3
考虑到y>δ时,速度变化不大,由排量厚度及动量损失厚度定义得:
1
0
1uu
dy83
2
0
u u
1uu
dy23890
可见: 21
将上述速度剖面代入动量积分方程得:
d
dx
11430
u
边界层由x=0处开始形成,对上式分离变量积分得:
4.64
x
Re
1/ x
2
2.求解温度剖面
qxdydz(qxdydzqxx dxdydz)qxx dxdydz
三个方向导入控制体总能量
3 qi dxdydz 3 ( t )dxdydz (c)
3)表面力作功: X方向x,y,z面i上1 :xi
i1 xi xi
xx * dydz*u yx * dxdz *u zx * dxdy*u
0
得:
y2u2 0
grad 0
L x
3.由x向动量方程: 解得: u U y
L
y2u20 及边界条件: y 0,u 0; y L,u U
yx
u y
U
L
.
例题:Couette流动,两无限大平板相距L;上、下板温度分别为t1 、t0.上板
以U匀速沿x方向移动,下板静止不动.假设中间为常物性不可压缩流体,
u( u u)dy
0
定义:
2uu u(uu)dy 0
2
u 0 u
1
u u
dy
常物性时,
2
u 0 u
1uu
dy
δ 2也是x的函数,显然, 2 1
2
7.2
将微分方程的从0到δ积分, 再将积分上限扩展到无穷大,并引入δ 1、 δ 2
的定义,得到常物性,不可压缩流体,无喷注时的动量积分方程：
D
D
对于稳态、静止流体: t 2t 0
作业7.2 解:因为是稳定流动,所以: 0 因为是常物性流体,所以:
1.对于连续性方程: uxyvwz 0
y
又无限大: x0
z
0
且: w0
所以: yv0
u w 0 x z
t1
2.动量方程(7-15):
Du D
0