当面１丽ｌ一哥＜０且瓦２而２一Ｂ＜ｏ时，由上述的表达式知ｐｌ＞Ｏ，进而ｐ３＞Ｏ，于是
ｐｌｐ２一ｐ３＝（（ｆ一瓦１雨１）＋（Ｂ一西２丽２））（（＿一万１而１）（Ｂ一石２－２）＋石ｌ而１（ｒ—ｆ））＞ｏ．
警臼ｇ（（－１叫叫２２＋＋生业咝堂告替警掣坠圹地ｏｄ饥２抛阜嘞．（刊
取ｃ＞西万可％翮，则由上式学≤ｏ；并且警＝ｏ当且仅当ｚ＝１，ｙｌ＝ｏ，抛：ｏ．因此
平衡点岛（１，ｏ，ｏ）在Ｒ王上是全局渐近稳定的．
口
经简单计算知，当币了当吉两＜１时，系统 （１）有平衡点晶（ｚｌ，ｔ￡，ｌ，ｏ），ｚｌ＜１．其中ｚ１，叻
≤｛一ｌｎｉｎ｛ｄｌ，ｄ２）（ｃ－ｚ＋可１＋笔），
其中∈＝ｃｌｐ＋Ｉｎｉｎ｛ｄｌ，如））（１＋ｓ）．所以当ｔ充分大时，有ｃｌｚ＋可ｌ＋警≤而翻＋ｓ．即
系统（１）的任一从Ｒ王出发的解是有界的．
口
该引理表明，当食饵种群和被捕食种群受密度制约时，它们的密度始终保持有限数，显然能
养活的捕食者种群的密度必将是有限的．由该引理知食饵ｚ的环境容纳量为１．
｛警吲毛ｒ％＋卷一高），
（７）
【誓＝酣ｄ２＋怒）．
其中尹＝ｒＡ，瓦１＝ｏｌＡ，瓦２＝ａ２Ｂ，石１＝６１Ｂ，瓦＝６２ｃ，苞１－１＝ｃ１６１Ａ，．２瓦＝ｃ２６２Ｂ．于是系统 （７）有正平衡点矿（１，１，１）且ｒ＞ｆ．
定理３．２设口ｌ≤１，面：ｉ垂矗石＜舌且ｎ２６２虻＜１，则正平衡点Ｅ＋０’，酊，虻）是局部渐近
体现了单食物链模型的特点．若ｃ２６２一口２ｄ２≤ｏ，则鲁≤ｏ，于是耽种群灭绝，这与Ⅳｌ存活
与否无关．由该引理知，为使捕食种群得以存活，在以后的讨论中我们均假设ｃｔ６‘一。以＞０，
ｔ＝１．２．
系统（１）显然有平衡点ｏ（ｏ，ｏ，ｏ），岛（１，ｏ，ｏ）．其中Ｄ（ｏ，ｏ，ｏ）是一个双曲鞍点，不稳定．平 衡点岛（１，ｏ，０）的稳定性由下面引理得到．
为（１一ｚ１）（１＋０１２１）＜１，所以有８１ａ１６ｌ∞ｌ＜ｒ，于是砦＜ｏ并且酱＝ｏ当且仅当ｚ：ｚ１，
耖１ ２ ｔ￡７ｌ，抛＝ｏ·因此系统（１）的平衡点毋在Ｒ王上是全局渐近稳定的．
口
３正平衡点的存在性及稳定性分析
定理３·１若Ⅱｌ≤１且面砻矗＜
，则系统（１）存在
唯一的正平衡点Ｅ＋ｐ’，虻，虻），其中△
第２７卷第瑚
２００７年１１月
数学研究与评论
ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ ＲＥＳＥＡＲＣＨ ＡＮＤ ＥＸＰＯＳＩＴＩＯＮ
ｖ０１．２７，Ｎｏ．４ Ｎｏｖ．，２００７
文章编号：１００ｍ３４１ｘ（２００７）０４－０８１９．０７
文献标识码： Ａ
一类微分方程系统正平衡解的存在性与全局稳定性
刘婧， 马雁
当ｃ１６ｌ—ｎｌｄｌ≤ｏ时，由（２）式得粤≤ｏ，因此ｕｍｔ。∞∥１（ｔ）＝ｏ；进而由第三个方程知鲁≤ｏ，
于是ｌｉｍ扣。！，２（ｔ）＝ｏ． 将系统（１）的第三个方程改写为
警＝弃‰（（ｃｚ６２咄咖一ｄ２）．
（３）
当ｃ２６２一０２ｄ２≤ｏ时，由式（３）得案≤ｏ，于是ｌｉｍｔ．。抛（ｔ）＝ｏ．
口
该引理表叽若ｃ１６１一ｎｌｄｌ≤０，则可１种群灭绝，从而导致！，２种群灭绝．这一条件恰好
１引言
自然环境中存在着大量食物链模型的生态系统，对其进行研究具有很强的现实意义和生物
意义．密度均匀的食物链模型通常可由一个自治的常微分方程组描述【１１．
本文讨论一个由三种群组成的单食物链模型，特别地对食饵种群和被捕食种群加入了线性
密度制约项，使得这两种群的相对增长受环境的制约，其数学模型（无量纲化后）为
时候三种群仍能共存．
志＜叫云，％高娑需嚣缚芋， 注正平衡点的存在条件是由直接计算得到的，尤其条件
还保证了平衡点局（ｚｌ，ｔ￡Ｊ１，ｏ）的存在．
下面我们利用伸缩变换法【８】讨论Ｅ‘的局部稳定性．
记系统（１）的正平衡点为Ｅ＋似，Ｂ，Ｃ），作变换ｚ＝肛，可ｌ＝上哼１，耽＝Ｃ晚，得到下面的系
统
ｒｌ面ｄ－２彻叫－－，一而－】玑虿 ，
（大连海事大学数学系，辽宁大连１１６０２６） （Ｂｍａｉｌ：Ｌｊ６５０７２０＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ）
摘 要：本文研究了—个自治的非线性微分方程系统，得到了系统正平衡点存在唯一的充分条件， 通过伸缩变换法讨论了正平衡点局部稳定性，并运用构造Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数方法得到了它的全局渐近 稳定性．
关键词：食物链模型；正平衡点；伸缩变换； Ｌｉａｐｕｎｏｙ函数；全局渐近稳定． ＭＳＣ（２０００）：３４Ｄ２３ 中图分类：０１７５．“
由（５）式，当ｎ１≤１时，对一切ｚ１＞ｏ，ｔｔ７１＞ｏ均有Ｂ１＞ｏ．由（４）式，对一切工＞ｏ，均有 ，７（。）＜ｏ，所以仅存在一个正数让ｏ，使得，（钍ｏ）＝ｏ，且对妇＜ｔ‘０，，（ｚ）＜ｏ；比＞ｕｏ，，（ｚ）＞ｏ．
万方数据
８２２
数学 研 究 与 评 论
２７卷
——————————————————————————————————————————————————————————————一＿
引理２．２如果ｃ１６ｌ一口１ｄｌ≤ｏ，则ｈｍｔ．＋。可１（￡）＝ｏ，于是ｌｉｍ¨。分２（ｔ）＝ｏ．如果
ｃ２６２一口２ｄ２≤０，贝０ ｌｉⅡｌｔ．∞ｙ２（ｔ）＝０．
警证＝明矸将面系统 辆（｛１－）０的ｚ第（１二佃个咖方｝程．改［写（口为－＿口２（ｃ１６ｌ＿口，ｄ１））ｚ＋（０ｚ¨１）协一
６２（１＋ａｌｚ）可２＋（（ｃ１６１一ｎｌｄｌ）ｚ—ｄ１））．
＞０．
～２州ｚ咄）舛羔一ｒ＝。． 证明由系统（１）的第三个方程得虻＝刁善矗，将其代入系统（１）的第一个方程整理后得
暑，ｐ）与ｚ轴有唯一正交点ｚ·＝业掣＜１．其中 令可（。）＝ｒ０１２２＋ｒ（１一０１）ｚ＋面等‰一ｒ，则当口ｌ≤１时，对一切ｚ＞ｏ，有妙，＠）＞ｏ；且当
碌老矗＜云时，
△＝
＞０．
显然△＞ｒ（１一０１）．
分别满足
云（１叫（１怕矿患“黾
彬－２云（１一砌（１＋郴１）＝一西＋
ｃｌｂ】ｚｌ １＋０１ｚｌ‘
关于平衡点Ｅ１（ｚ１，ｔｌＪｌ，ｏ）的稳定性由下面引理给出．
引理２．４设硼ｌ＜可量矗．若口ｌ≤１，那么存在—个正数ｕｏ，使得当ｚｌ＜咖时，平衡
点局（ｚｌ，加ｌ，Ｏ）是不稳定的；当ｚ１＞坳时，平衡点局０１，ｔ￡，ｌ，ｏ）是局部渐近稳定的，此时它
稳定的证且明它若在令礁尚上＝是而全１，局再渐％近稳泸定＝而的２．，则系统（７）在矿（１，１，１）处的Ｊａｃｏｂｉ矩阵为
悱（石每ｆ砀篆Ｂ＊列）’
其对应的特征方程为ｐｏＡ３＋ｐｌ入２＋ｐ２入＋ｐ３＝０．其中
ｐｏ＝１，ｐ１＝一（－１丽１一ｆ＋＿２－２一Ｂ），
ｐ２＝（＿ｌ丽ｌ一＿）（－２－２一Ｂ）＋百２确（１＋＿２）＋石１而ｌｐ—ｆ），船＝一－２而ｌ（１＋－２）（＿ｌ＿ｌ—ｆ）．
志 司石刁再ｉ嘶五丽’ 下面将矿，虻代入系统（１）的第二个方程，得
抛 ｆＩ ，■Ｌ 一 血 一
．ｃ１６ｌ（△一ｒ（１一口１））、 ｃ２ 。口ｌ（△＋，．（１＋口１））’ｃ２６２一ｎ２ｄ２一
Ｍ—Ｎ
其中 Ｍ＝ｃ２（△一ｒ（１一口１））（ｃ１６１一０１ｄ１）（ｃ２６２一口２ｄ２），
万方数据
蝴
刘婧。等：一类微分方程系统正平衡解的存在性与全局稳定性
～㈦ｉ罄ｎ
苎釜譬值为入１ ２一ｒ＜ｏ，Ａ２亍一ｄ２＜ｏ，Ａ３＝一ｄｌ＋路．当币粤矗＜１时，入３＞ｏ，此时
平衡点局不稳定．而当币ｉ鱼：两＞１时，Ａ３＜ｏ，此时平衡点马是局部渐近稳定的．
构造Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数ｙ（ｚ，可１，可２）＝ｚ一１一ｌｎｚ＋ｃ（ｃ２可１＋耽），其中ｃ是待定的正常数．当
０＜ｚ Ｓ ｌ，可ｌ≥０，抛≥Ｏ时，有
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讥坤一吣Ｌ
且初值为ｚ（ｏ）≥ｏ，３，１（ｏ）≥ｏ，耖２（ｏ）≥ｏ．其中ｚ（￡），秒１（￡），掣２（≠）分别代表食饵种群，被捕食种 群及捕食种群的密度． １一ｚ为食饵种群ｚ的增长率． ６１ｚ／（１＋ｎｌｚ）和６２∥ｌ／（１＋０２可１）称为 ＨｏｌｌｉＪｌ分ＩＩ型功能反应函数，分别表示被捕食种群可ｌ对食饵种群ｚ的捕食能力和捕食种群耽对 被捕食种群可１的捕食能力．ｒ表示食饵种群ｚ的内禀增长率，ｃｌ，ｄｌ和ｃ２，ｄ２分别表示夕ｌ，抛 的消耗率和死亡率．ｒ，ｏｌ，ｎ２，ｃｌ，ｃ２，ｄｌ，ｄ２均为正常数．
取扎ｌ＝击（１＋口ｌｚｌ），礼２＝音Ｉ＿（１＋口１２１）（１＋口２埘１），则
害；＝（ｚ—ｚ。）２（一ｒ＋３。ｎ。６。伽。）一佗。（可。一叫。）ｚ ｓ（ｚ—ｚ，）：（一ｒ＋ｓ。ｎ。６，叫。）．
由ｓ１＜１，口１≤１及伽１＝毒（１一ｚ１）（１＋ｎｌｚｌ），有占ｌ口１６ｌ叫ｌ≤７．（１一ｚ１）（１＋口ｌｚｌ）．又因
运用定性分析的方法研究生态系统解的性质是一个热门课题．文献【２】通过构造Ｌｉａｐｕｎｏｖ 函数的方法研究了由三种群组成的竞争模型的解的全局性质，得出了该竞争系统全局稳定的充 分条件．文献【３】研究了时变环境下ＣｈｅⅡ１０ｓｔａｔ中微生物连续培养单食物链模型，用单特征值 分歧定理得到了模型共存周期解存在的条件并运用Ｃｒａｎｄａｕ—Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ定理证明了单种群分歧 解的局部稳定性．文献【４】研究了具有线性密度制约项的捕食．被捕食模型，建立了系统解的渐 近行为与参数之间的关系．文献【５】用常微分方程的定性理论分析了一类变消耗率的单食物链模
２基本结果
由模型的实际生物意义，下面我们只在区域兄罩＝｛（ｚ，ｙ１，可２）Ｉｚ≥ｏ，∥ｌ≥ｏ，箩２≥ｏ）上讨论 系统（１）．
引理２．１当ｔ充分大时系统（１）的任—从Ｒ晕出发的解是有界的． 证明由系统（１）的第一个方程知鲁≤馏（１一ｚ），所以对垤＞ｏ，当ｔ充分大时，有 ｚ（ｔ）≤１＋Ｅ．又因为
（ｃｔｚ＋可ｔ＋笔）７≤ｃ－ｒｚ—ｄ－ｓ，，一警≤ｃｔ，．ｚ一觚ｎ｛ｄ－，ｄ２）（！，－＋尝）
万方数据
瑚
刘婧，等：一类微分方程系统正平衡解的存在性与全局稳定性