1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
教学过程： （一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”； 3．求任意角的三角函数的一般步骤。

4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①sin 315sin(1260)cos 570sin(840)-+-
． （答案
34
）
②sin ()sin (2)sin (3)sin (102)6
6
6
6
π
π
π
π
ππππ+
+
+
+
． （答案102
12
）
（3）证明：
sin (2)co s()1co s()sin (3)sin ()
sin παπαπαπαπαα
-+=-
-----．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。

（二）新课讲解：
例1 已知：tan 3α=，求
2co s()3sin ()4co s()sin (2)
παπααπα--+-+-的值。

解：∵tan 3α=，
∴原式2co s 3sin 23tan 74co s sin 4tan ααααα
α
-+-+=
=
=--．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的
co s α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。

变式训练：已知：1tan ()2
πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。

解答：1tan ()tan 2
παα+==-
，原式
2
2
2
sin co s tan 2sin co s sin co s 1tan 5
ααααααα
α
==
=
=-
++．
说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结
合“口诀”及2
2
sin cos αα+的运用。

例2 已知3
sin 5
α=-
，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值。

解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+
tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+
tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-
由已知得：43co s ,tan 5
4
αα=
=-
， ∴原式21
20
=
．
说明：关键在于抓住α是第四象限角，判断co s ,sin αα的正负号，利用同角三角函数
关系式得出结论。

变式训练：将例2中的“α是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？ 解答：原式sin (tan 1)αα=-，
∵sin α为负值，∴α是第三、四象限角。

当α是第三象限角时，43co s ,tan 5
4
αα=-
=
．∴原式320
=
．
当α是第四象限角时，即为上例。

说明：抓住已知条件判断α角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。

例3 化简
sin()sin()()sin ()co s()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．
解：①当2,n k k Z =∈时， 原式sin (2)sin (2)2sin (2)co s(2)
co s k k k k απαπαπαπα
++-=
=
+-．
②当21,n k k Z =+∈时， 原式sin [(21)]sin [(21)]2sin [(21)]co s[(21)]
co s k k k k απαπαπαπα
+++-+=
=-
++-+．
说明：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n
分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。

五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。

六、作业： 补充：1．化简
sin()cos()
cos[(1)]
n n n παπαπα+-+-；
2．化简sin()sin(2)sin(3)sin()k παπαπαπα++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+且k Z ∈；。