图8.16 数字PI控制系统的阶跃响应
直流（DC）电机调速系统的
计算机辅助设计
DC电机的动态模型本质上可以视作典型的二阶惯性系统。 控制系统的输入变量为输入电压Uapp(t),
输出是电机在负载条件下的转动角速度ω(t)。
设计补偿器的目的是通过对系统输入一定的电压,使电机带动负 载以期望的角速度转动,并要求整个系统具有一定的稳定裕度。
m=0.111;R=0.015;g=-9.8;L=1.0;d=0.03;J=9.99e-6;
K=(m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); num=［-K］;den=［100］;Ts=1/50; ［numDz,denDz］=c2dm(num,den,Ts,′zoh′) %将连续系统转换成离散系统
该方法在设计效果上与Bode图的频域设计方法是完全
等价的。
由于MATLAB中的LTIDesignTool可以同时显示系
统的Bode图和根轨迹图,因此用户可以根据自己的喜好 选择任何一种设计方法。 这一节我们将通过MATLAB自带的一个工程示例 来介绍LTI系统的根轨迹设计过程。
图8.24是一种电磁驱动的水压伺服机构
得到的系统响应如图8.15所示。仿真显示该系统是
不稳定系统。
图8.15 离散系统的阶跃响应曲线
下面为系统设计比例-微分控制器。设置控制器参
数Kp=100,Kd=10。将下面的代码加入到M文件中,观测 这时的闭环系统响应（如图8.16所示）。
numDz=0.0001*［0.420.42］;denDz=［1-21］;
4. 加入超前校正网络
系统的设计指标要求系统具有20dB以上的幅值裕 度和40°以上的相位裕度。在当前的补偿器设计中,增
益裕度大约是11.5dB,而相位裕度在38.1°附近,二者都
不符合系统设计的条件。因此，下一步设计的目标是 进一步缩短系统的上升时间同时提高系统的稳定裕度。 一种方法是提高系统增益来加快系统的响应过程,但系 统此时已经是欠阻尼状态,提高系统增益将会减小系统 的稳定裕度,读者可以在Bode图中进行尝试。接下来只 有在补偿器中加入新的动态结构。
便地实现补偿器增益的调节：
（1）鼠标移动到Bode幅值线上,这时鼠标指针变成 手的形状。
（2）按下鼠标左键抓取Bode幅值线。
（3）将Bode幅值线向上拖动。
（4）释放鼠标,系统自动计算改变的系统增益和 极点。 SISO设计工具将计算补偿器的增益,计算结果显 示在C(s)栏中。当然,用户也可以直接在C(s)栏中输入
Bode幅频曲线来调整系统的增益大小,使得该曲线在
3rad/s的位置穿越0dB线（如图8.18所示）。
图8.18 DC电机的根轨迹图和Bode图
对于3rad/s的穿越频率,相应的补偿器增益应该在
38左右。SISODesignTool将在Bode图的左下角显示系 统当前的增益和相位裕度,同时也告诉我们当前系统 是否是稳定的。 如果通过LTIViewer观察系统的阶跃响应,可以发 现系统的稳态误差和上升时间已经得到一定的改善, 但是要满足系统所有的设计指标,还应该设计更复杂 的控制器。
（Electrohydraulic Servomechanism，简称EHSM）的结 构示意图。该系统的组成包括电磁线圈构成的驱动器、
存储有高压液体的导管中的滑动轴、导管中用以控制
(8.17)
设计数字控制器的第一步是将连续系统传递函数
转换成离散传递函数形式。我们可以使用MATLAB中 的c2dm命令实现。该命令可以指定离散系统的采样时 间和离散方法。本例中我们采用零阶保持的离散方法 （′zoh′）,同时假定闭环系统的带宽频率在1rad/s附近, 因此将采样时间设置为1/50s。以下是具体的程序：
控制系统分析与设计 综合案例
设计案例一：跷跷板控制系统
跷跷板系统的结构示意图
控制目的： 小球可以停留在横梁的任意位置上
系统设计要求：
·调节时间小于3秒; ·超调量不超过5%。
该系统的状态方程模型
A=[0 1 0 0; 0 0 H 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0];
B=[0;0;0;1]; C=[1 0 0 0]; D=[0];
结果分析及讨论
• 从图中可以看出,系统的超调量和稳定时间均已 满足要求,但系统具有较大的稳态误差。
• 如果想进一步减小系统的超调量,可以将主导
极点的虚部设置成比实部更小。 • 如果要减小系统的调节时间,可以进一步将主 导极点向左半平面移动。
8.2.3 数字控制器的设计和实现
随着计算机的发展,计算机在控制系统中的应用越 来越广泛。许多控制算法都是利用计算机实现的。由
设置补偿器的上述参数值。只需双击 CurrentCompensator区域即可打开该对话框。图8.22还
显示系统的幅值裕度为22dB,相位裕度为66°。为了观
察上升时间和最大超调量是否满足设计要求,将鼠标移 动到系统闭环阶跃响应曲线处,
右击阶跃响应图的空白区域,在弹出的快捷菜单中选择
【Characteristics】中的【RiseTime】和 【PeakOvershoot】菜单,系统将自动在阶跃曲线上标示 出相应的信息,如图8.23所示。从图中可以看出,系统的 上升时间为0.45秒,最大超调量大约在3%附近。至此,系 统的所有动态性能均已满足当初的设计要求。
图8.21 加入超前环节后系统的Bode图和阶跃响应曲线
5. 移动补偿器的零极点
为了提高系统响应速度,我们将超前网络的零点移 动到靠近DC电机最左边（最慢）的极点位置。这可以
直接通过鼠标拖动来实现。接下来,将超前网络的极点
向右移动,并注意移动过程中幅值裕度的增长。当然也 可以通过调节增益来增加系统的幅值裕度,用鼠标抓取 Bode图的幅频曲线,然后向上拖动,观察增益和幅值裕度 的增长情况。
x ( A BK ) x Bu Y Cx
接下来可以仿真闭环系统在0.25m输入信号下的阶跃 响应。在M文件后加入下面的指令： T=0:0.01:5; U=0.25*ones(size(T));

［Y,X］=lsim(A-B*K,B,C,D,U,T);
plot(T,Y) 运行M文件,得到的系统响应曲线下图
解决以上问题的一种方法是在补偿器中加入超前
校正网络。为了方便我们的设计,首先将x轴进行放大, 方法是点击鼠标右键，从快捷菜单中选择 【ZoomIn-X】,然后用鼠标框出需要放大显示的区域。 在这个例子中我们感兴趣的是从1rad/s到50rad/s的区域 范围。
为了加入超前校正网络,在开环Bode图中点击鼠标 右键,选择【AddPole/Zero】下的【Lead】菜单,该命令 将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标光标 将变成“x”形状,将鼠标移动到Bode图的幅频曲线上接 近最右端极点的位置，然后在该极点的右端靠近极点 的某个位置按下鼠标。最终的设计结果如图8.21所示。
式中： H=-m*g/(J/(R^2)+m); m=0.11; R=0.015; g=9.8; J=9.99e-6;
其中：x1=r(小球位置), x2=dr(小球速度), x3=(横梁倾斜角度), x4=d(横梁倾斜的角速度)
全状态反馈控制器的设计
设计目标:
将系统闭环极点移动到期望的位置。
根据系统的设计要求,计算出期望的主 导极点位置位于-2+2i和-2-2i处,其它的 极点应该远离主导极点,我们假设它们 分别位于-20和-80处。
于计算机处理的是数字信号,因此ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要为计算机设计数
字控制器。这一节我们讨论图8.10所示的跷跷板系统的 数字PID控制器的设计步骤。与连续PID控制器类似,数 字控制器的传递函数为
z 1 ( KP KI KD ) z 2 ( KP 2KD ) z KD KP KI KD z z2 z
图8.22 DC电机补偿器的最终设计参数
图8.23 补偿器设计完成后的系统闭环阶跃响应曲线
8.4 电磁驱动水压伺服机构的根轨迹设计
8.4.1 问题描述 上一节介绍了如何借助LTI系统设计工具进行LTI 控制系统的Bode图设计,这种方法属于典型的频域设计 方法。除了频域方法外,利用闭环系统的根轨迹图进行 LTI系统的时域设计也是工程实践中经常采用的方法。
期望的补偿器增益值。整个过程可以用图8.18表示。
2．调整系统带宽
既然系统设计要求上升时间在0.5s以内,应该调整 系统增益,使得系统的穿越（crossover）频率位于3rad/s 附近。这是因为3rad/s的频率位置近似对应于0.33s的时 间常数。 为了更清楚地查找系统的穿越频率,点击鼠标右键, 在快捷菜单中选择【Grid】命令。该命令将在Bode图 中绘制网格线。使用上面介绍的方法,通过鼠标拖动
3. 加入积分器
减小系统稳态误差的一种方法是加入积分器。首 先,点击鼠标右键,在弹出的快捷菜单中选择 【AddPole/Zero】下的【Integrator】菜单。这时系统将 加入一个积分器,该积分器的加入会改变系统的穿越频 率,因此应该同时调整补偿器增益的大小并将穿越频率 调整回3dB的位置,这时的增益大约为100。一旦加入积 分器并重新调整补偿器的增益,SISO Design Tool就会在 其中的根轨迹图中显示红色的极点,如图8.19所示。
得到的离散系统传递函数为
R( z ) 0.0001(0.42 z 0.42) ( z) z2 2z 1
下面我们将观察系统在0.25m输入信号下的阶跃响
应,为此，在M文件中加入下面的程序代码： numDz=0.0001*［0.420.42］;denDz=［1-21］; ［x］=dstep(0.25*numDz,denDz,251); t=0:0.02:5;stairs(t,x)
按照上述方法调整超前网络参数的同时,可以打开 LTIViewer观察系统的阶跃响应变化,观察阶跃响应的所 有动态特征是否已经满足系统的设计要求。 最终系统的设计参数为（如图8.22所示）：极点位 置0和-28，零点位置-4.3，增益为84。