题型八 二次函数综合题
类型一 与线段、周长有关的问题 类型二 与面积有关的问题 类型三 与特殊三角形有关的问题 类型四 与特殊四边形有关的问题
类型一 与线段、周长有关的问题
典例精讲
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于 点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝ 1 x－2经过
4
4
当x＝0时，y＝－ 3 ，
4
即当点S的坐标为(0，－ 3 )时，SD－SB的值最大． 4
(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作 y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线 段HK＝d.
①求d关于h的函数关系式； ②求d的最大值及此时H点的坐标．
【思维教练】由题可得点H的横坐标为h，①分 别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得 到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，表 示出HK，可得到d关于h的函数关系式；②利用二 次函数的性质求最值，即可得d的最大值．
令x＝0得y＝－2，
∴点A(4，0)，点C(0，－2)，
已知点B(1，0)，将A、B、C三点的坐标代入抛物
线的解析式得：
16a 4b c 0 a b c 0 , c 2
解得
a
=
-
1 2
b
=
5 2
,
c = -2
∴抛物线的解析式为y＝－ 1 x2＋ 5 x－2.
22
又由抛物线y＝－ 1 x2＋ 5 x－2得：
交AC于点N，Leabharlann 设M(x，－x2－2x＋3)，
则N(x，x＋3)，
例2题解图④
∴MN＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，
∴S△MAC＝S△AMN＋S△CMN＝
1 MN·3 2
＝ 3 (－x2－3x) ＝－ 3 (x＋ 3 )2＋ 27 ，
2 ∵－ 3
<0，－3<
x
2 <0，
28
2
∴当当x＝x－＝－32 时32 ，时y，S△(M32A)C2的 2最大(值32)为 3
解：对于y＝x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时， x＝－3，∴A(－3，0)，C(0，3)， ∵AB＝4， ∴B(1，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C，
9a 3b c 0 a b c 0
a 1 ，解得 b 2
c 3
c 3
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
22
y＝－ 1 (x2－5x)－2＝－ 1 (x－ 5 )2＋ 9 ，
2
2
28
∴抛物线顶点D的坐标为( 5 ，9 )．
28
(2)设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为(e， 0)，要求点E的坐标，已知AE＝CE，需先分别用含 e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标(1)中已求得， 则EA＝4－e，由题图可知O、E、C三点可构成 Rt△COE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示 出CE的长，建立方程求解即可．
2
2
2
可知，
当h＝2时，d最大，
∵0<2<4，符合题意，
∴当h＝2时，d最大，最大值为2，此时点H的坐标
为(2，1)．
满分技法
线段、周长最值问题有两种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题，常常通过线段两端 点的坐标差表示线段长的函数关系式， 然后运用二次函数性 质求最值．解决这类问题的关键是：(1)确定线段的函数关系 式，注意当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端 点的纵坐标；当线段平行x轴时，用右端点的横坐标减去左 端点的横坐标；(2)确定函数最值，注意函数自变量取值范围 要确定正确；
满分技法
2．“将军饮马”型问题或其变形问题，这类问题一般是 已知两个定点和一条定直线，然后在定直线上确定一点， 使得这个点到两定点距离和最小．其变形问题有三角形周 长最小或四边形周长最小等；这类问题的解决方法是：作 其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一 个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点，然后通过 求直线解析式及直线交点坐标，计算最小值或点坐标．
例2题解图①
②当y＝－3时，－x2－2x＋3＝－3，解得x＝－
1± 7 ， ∴点Q的坐标为(－1＋ 7 ，－3)或(－1－ 7 ，－3)．
综上所述，点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)或(－1
＋ 7 ，－3)或(－1－ 7 ，－3)．
(4)在(3)的条件下，连接AD，CD，求四边形AOCD 和△ACD的面积.
交点G即为所求的点．
设直线B′D 的解析式为
y＝kx＋d(k≠0)，其中
D( 5 ， 9 )，
28
k d
5 2
k
d
0 9
8
,
解得
k d
9 28 9 28
.
例1题解图②
∴直线B′D的解析式为y＝ 令x＝0，得y＝ 9 ， ∴点G的坐标为2(08，9 )．
28
9x＋ 9， 28 28
(4)在直线l上是否存在一点F，使 得△BCF的周长最小，若存在，求 出点F的坐标及△BCF周长的最小 值；若不存在，请说明理由；
(2)求△ABC的面积． 【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的 一条边的长度和这条边上高的长度，由于△ABC的 边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐 标，代入三角形的面积公式计算即可．
解：∵点C坐标为(0，3)，
∴OC＝3.
∴S△ABC＝
1 2
|AB|·|OC|＝ 1 ×4×3＝6. 2
2 点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
(1)求抛物线的解析式 及顶点D的坐标；
【思维教练】已知直线y＝ 1 x－2经过点A、C，结 2
合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1，0)，代 入即可求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方成
顶点式，即可求得顶点D的坐标．
解：(1)对于直线 y＝ 1 x－2，令y＝0，得x＝4， 2
【思维教练】要求点P的坐标，先确定点P的位置， 由于△ACD与△ACP的底AC相等，则只要等高，面 积即相等，可过点D作AC的平行线与抛物线相交， 交点即为所求点，即可求得点P坐标．
解：如解图③，过点D作直线DP∥AC，交抛物线于
点P，连接AP，PC，BD，则S△ACD＝S△ACP . ∵DP∥AC，且直线AC的解析式为y＝x＋3，
∴S四边形AOCD＝S△AOD＋S△COD
1 3 4 1 31 15
2
2
2
∴S△ACD＝S四边形AOCD－S△AOC
15 1 33 3 22
例2题解图②
(5)在(3)的条件下，在直线AC上方的抛物线上，存 在一点P(不与D重合)，使△ACD的面积等于△ACP的 面积．请求出点P的坐标．
(5)存在．当S与D、B不在同一条直线上时，由三角
形三边关系得SD－SB<BD，
当S与D、B在同一条直线上时，SD－SB＝BD，
∴SD－SB≤BD，即当S
在DB的延长线上时，
SD－SB最大，最大值为BD.
如解图④，
例1题解图④
∵B(1，0)，D( 5 ， 9 )，
28
∴易得直线BD的解析式为y＝ 3 x－ 3 ，
类型二 与面积有关的问题
典例精讲
例 1 如图①，在直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴 相交于点A，与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上， 且AB＝4，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C.
(1)求抛物线的解析式．
【思维教练】要求抛物线的解析式，需知过抛物线 的三点A、B、C的坐标，利用直线y＝x＋3求得A、 C两点的坐标，结合已知的AB＝4，求得B点坐标， 代入求解即可．
27 . 8 15
4
，
∴点M的坐标为(－ 3 ， 15 )．
24
满分技法
1.解决二次函数与三角形面积最值综合题，常见方法有： (1)若三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，首先计算 这条边的两个顶点的坐标；然后利用坐标的差表示这条边的 长(若平行于x轴，用右边的点的横坐标减去左边点的横坐标 可得边长；若平行于y轴，用上端点的纵坐标减去下端点的纵 坐标可得边长)；再确定另一顶点到这条边的距离，一般是另 一点的横(纵)坐标与已知边的点的横(纵)坐标的差；然后运用 三角形面积公式计算．
解：Q点的坐标为(－2，3)或(0，3)或(－1＋ 7 ， －3)或(－1－ 7 ，－3)．
【解法提示】如解图①，依题意， AE＝BE， ∴当△QAE的边AE上的高为3时， △QAE的面积与△CBE的面积相等． ①当y＝3时，－x2－2x＋3＝3， 解得x1＝－2，x2＝0， ∴点Q的坐标为(－2，3)或(0，3)．
(6)①如解图⑤，∵点H在抛物线上， ∴设点H的坐标为(h，1 h2 5 h 2 )，
22 ∵HK∥y轴，交AC于K，
∴点K的坐标为(h，1 h 2)， 2
∵点H在点K的上方，
∴HK= d ( 1 h2 5 h 2)
22
(1 h 2) 1 h2 2h
2
2
例1题解图⑤
②由 d 1 h2 2h 1 (h2 4h) 1 (h 2)2 2
AC＝2 5 ， ∴△BCF周长的最小值为BC＋AC＝ 5 2 5 3 5.
(5)在y轴上是否存在一点S，使得SD－SB的值最大， 若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使SD－SB的值最大，则需分两种情 况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由 三角形三边关系得到SD－SB<BD；②当三点共线时， 有SD－SB＝BD.从而得到当点S在DB的延长线上时 满足条件，求出直线BD的解析式后，求出直线BD 与y轴的交点坐标即可．
∴可设直线DP的解析式为y＝x＋n，