图8-5 临界阻尼时的零输入响应iL的波形
3. 欠阻尼α<ω0(R2<4L/C)
在图8-3所示电路中，令L=1 H，R=1 Ω，C=1 F，uC(0－)
=1 V，iL(0－)=1 A，求t≥0时的uC(t)。
解 因为 R 1 , 0
2L 2
1 LC
1 , α<ω0，
令 d
(8-11) (8-12) (8-13)
则
uC t K1es1t K2es2t U t
下面讨论：
(8-14)
(1) 若α>ω0，特征根为不相等的负实根，则
uC (t) K1es1t K2es2t ， t≥0
uC(t) (2) 若α=ω0，特征根为相等的负实根，则
uC (t) K1es1t K2tes1t ， t≥0
uC(0－)=0 V，iL(0－)=1 A，求t≥0时的uC(t)、iL(t)。
解 因为 R 1.5 ， 0
2L
1 LC
1
, α>ω0， 故特
征根为
s1
2
2 0
0.382
s2
2
2 0
2.618
微分方程的解为
uC (t) K1es1t K2es2t ，t≥0
①
由题已知
uC 0 uC 0 0,
图8-1 LC电路
对电路做定性分析可知： (1) 当t=0+时uC(0+)=U0，iL(0+)=0； (2) 当0<t<t1时电容放电，uC(t)↓，iL(t)↑； (3) t=t1时，uC(t1)=0，iL(t1)=I0; (4) 当t1<t<t2时，电感电流不能跳变，电感对电容反向 充电，iL(t)↓，uC(t)负上升； (5) 当t=t2时, uC(t2)=－U0，iL(t2)=0 (6) 当t2<t<t3时，电容对电感放电，|uC(t)|↓，iL(t)反向增
相应的波形如图8-4所示。
图8-4 uC和iL的波形
2. 临界阻尼α=ω0(R2=4L/C)
在图8-3所示电路中，令 L 1 H ，R=1 Ω，C=1 F， 4
uC(0－)=－1 V，iL(0－)=0 A，求t≥0时的iL(t)
解 因为 R 2
2L
, 0
1 2 , α=ω0, 故特征 LC
duC (t) dt
uC
(t)
uL
(t)
L
diL (t dt
)
将式(8-2)代入式(8-1)
d2uC (t) dt 2
1 LC
uC (t)
0
(8-1) (8-2)
(8-3)
将式(8-1)代入式(8-2)
d2iL (t) dt 2
1 LC
iL (t)
0
式(8-3)和式(8-4)的特征方程均为
s2 1 0 LC
uC
0
ห้องสมุดไป่ตู้
iC
0
C
iL
0
C
1
解得
uC(0+)=K1+K2=0 uC′(0+)=s1K1+s2K2=1
K1 0.447 K2 0.447
uC (t) 0.447e0.382t 0.447e0.382t V
所以
iL t iC t C
duC t
dt
0.171e0.382t
1.17e2.618t A
iC t iL t,
故式(8-9)为
uL
t
L
diL t
dt
,
iC
t
C
duC t
dt
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(8-10)
特征方程为 特征根为
LCs2+RCs+1=0
s1,2
R 2L
( R )2 1 2L LC
令
R
2L
，0
1 ，有 LC
s1 2 02
s2 2 02
(3) 若α<ω0，特征根为一对实部为负值的共扼复根。
令 d 02 2 ， s1,2 02 2 ，则s1,2=－α±jωd，解
为 uC (t) K1es1t K2es2t
uC (t) et K1 cosd t K2 sind t Ket cos(d t ) ， t≥0
1. 过阻尼α>ω0(R2>4L/C) 在图8-3所示电路中，令L=1 H，R=3 Ω，C=1 F，
8.2 RLC串联电路的零输入响应
在图8-3的RLC串联电路中，已知uC(0－)=U0，iL(0－)=0， t=0时开关闭合，分析t≥0后uC(t)和iL(t)。
图8-3 零输入RLC电路
t≥0时由KVL得
uL(t)+uR(t)+uC(t)=0 即
L
diL t
dt
RiL
t
uC
t
0
(8-9)
因为
(7) 当t=t3时，uC(t3)=0，iL(t3)=－I0
如此循环得波形如图8-2所示。可见，由于电能和磁能 相互转换，电路两端的电压及电流不断改变大小和方向—— 产生电磁振荡。电磁振荡现象是电能和磁能相互转换的结果。
图8-2 uC(t)和iL(t)的波形
由电路图8-1
iL
(t)
iC
(t)
C
s1,2 j 1 LC
(8-4) (8-5) (8-6)
j1t
j 1 t
uC (t) K1es1t K 2es2t K1e LC K 2e LC (8-7)
将初始值 uC (0) U0 代入式(8-7)
，uC (0)
iC (0) C
iL (0) C
0
U 0 K1 K2
0 j
K1 j LC
第8章 二阶电路分析
8.1 LC电路中的正弦振荡 8.2 RLC串联电路的零输入响应 8.3 GLC并联电路的零输入响应
8.4 一般二阶电路的分析
8.1 LC电路中的正弦振荡
我们首先研究仅由一个电容和一个电感组成的电路，设 电容的初始电压uC(0－)=U0，电感的初始电流iL(0－)=0，如图 8-1所示。若开关在t=0时闭合，考虑开关闭合后的零输入响 应uC(t)和iL(t)。
s1 s2 2 02 2
微分方程的解为
由题已知
iL (t) K1es1t K2tes1t
t≥0 ①
iL 0 iL 0 0,
iL
0
uL
0
L
uC
0
L
4
解得
iL(0+)=K1=0 iL′(0+)=s1K1+K2=4
所以
KK12
0 4
iL(t)=4te－2t，t≥0 相应的波形如图8-5
K2 LC
解得
1 K1 K2 2 U0
所以
uC
(t)
1 2
U
0
(e
j
1t
j
LC e
1t
LC ) U 0 cos
1 t，t 0 LC
(8-8)
可以得到以下结论：
(1) 无耗的LC电路，在初始储能作用下产生等幅振荡。
(2) 振荡周期由LC确定。振荡角频率 0
1 LC
(3) 振荡幅度与初始储能uC(0+)和iL(0+)