第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号
傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题
������(������) ������
第2章 时域离散信号和系统的频域分析

Xˆ a ( j) xˆa (t)e jtdt
p(t) (t nT)


xa (t) (t nT )e jtdt
xˆa (t) xa (t) p(t)

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FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充
分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：

| x(n) |
n
X(ejω)的傅里叶反变换为
（2.2.2）
x(n) 1 π X (ej )e jnd 2π π
50 第2章n=11 时域离散信号和系统的频域分析
Magnitude (dB)
0
-50
P Mhaag Msnaietg(uniddteeug(drde eB e()sd)B)
-100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Normalized Frequenn=c1y01(rad/sample)
50
n=31
500
-20000
-50-50 -400
-100
-100
-6-10500000 50 0
0.1 0.01.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.02.2NNoNorr0omm.r30ama.lil3azizleiezd0deF.d4F0reF.r4eqrequque0nune.=ecn505nyc.1c5yy((0(.6ra0rd.a6r/asdda/0/sms.a7ap0mml.e7pp)llee0)).80.8 0.90.9 1 1
4． FT 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称
设序列xe(n)满足下式：
xe (n) xe*(n)
（2.2.9）
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什
么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： e----even
xe (n) xer (n) jxei (n)
o---odd r---real
2π π

n
x(n)

1 2π
π π
H
(e
j
)e
j
n
d
e

jn
(2.2.33)
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交换积分与求和的次序，得到：
Y (ej ) 1 2π
π π
H
(e
j
)
n
x(n)e
j(

)
n

d
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上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚
部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序
列：
xor (n) xor (n)
将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：
xo (n) xor (n) jxoi (n)
（2.2.12）
xo (n) xo* (n)
（2.2.1）
第2章 p(时t)域离散信号和系统的频域分析
xa (t)
xa (t) p(t) xˆa (t)
理想抽样
xˆa (t)
p(t) (t nT)
������
…
������(������)
t
T
fs
1
T
������
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xa (t) p(t)
xoi (n) xoi (n)
即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
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5． 设 则
y(n)=x(n)*h(n) Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)
（2.2.31）
证明

y(n) x(m)h(n m) m


Y (ej ) FT[ y(n)] [ x(m)h(n m)]e jn
i----image
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将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：
xe* (n) xer (n) jxei (n)
对比上面两公式，因左边相等，因此得到：
xer (n) xer (n)
（2.2.10）
xei (n) xei (n)
（2.2.11）
(2.2.6) 式中, a，b是常数。
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3．时移与频移 设X(ejω)=FT［x(n)］, 那么
FT[x(n n0 )] e jm0 X (e j ) FT[ej0n x(n)] X (ej(0 ) )
(2.2.7) (2.2.8)
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2.1 引 言
我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分 析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续 变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域， 则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换 表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号 （序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用 信号的傅里叶变换或Z
n


xa (t) (t nT )e jtdt
n


xa (nT )e jnT
j
������������������ = ������������������������ + ������������������������������
r=1 ������ P34 式（2.2.5） i
P24 图（1.5.3）c)
n
nT
n T

/
fs
பைடு நூலகம்2 f
fs


f
s
f /
2



P46 图（2.4.1）

xa (n)e jn
n

X (e j ) x(n)e jn DTFT
n
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xa(t)
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图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
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2.2.2
1． FT的周期性 在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：


X (e j ) x(n)e jn x(n)e j(2πM )n X (e j(2πM ) )
预滤
A/ DC
数字信号处理
D/ AC
平滑滤波
ya(t)
f
f



fs 2
fs 2



数字频率
T
/
fs

2 f
fs


f
s
f /
2




f fs /
2


0,1
归一化频率
Fs=1000Hz, 则100Hz对应0.2 Fs=2000Hz, 则100Hz对应0.1
0.9 0.9 0.9
1 1 1
设fs=2000Hz 则截止频率fc=?
Phase (degrees) Phase M (adgenigtruedees)(dB)
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傅氏变换
一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
x(t) 正 : X ( j) x(t)e jtdt
1 π H (ej )X (ej( ) )d 2π
1 X (ej ) H (ej ) 2π
(2.2.34)
该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时
服从卷积关系。
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7． 帕斯维尔（Parseval）定理
x(n) 2 1
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号
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2.2 时域离散信号的傅里叶变换 的定义及性质
时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变
2.2.1
序列x(n)的傅里叶变换定义为

X (e j ) FT[x(n)] x(n)e jn n
2π π
n
1
π X (ej )X (ej )d 1
π
2
X (ej ) d
2π π
2π π
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表2.2.1 序列傅里叶变换的性质定理
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X a ( j)
Xˆ a ( j)
t DFTT
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n
n
Ｍ为整数 (2.2.5)
观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周 期是2π
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图2.2.2 cosωm 的波形