ryy (m)
rxx (m) v m
l
* r ( m l ) h xx (k )h(l k )

rxx (m) h* (m) * h m
2 1 j j j Pyy ( z ) Pxx ( z ) H ( z ) H * Pyy e Pxx e H e z *
Pxx(ω)≥0
随机序列数字特征的估计：
估计准则：无偏性、有效性、一致性 1 N 1 ˆ x xi 均值的估计： m

N
i 0

方差的估计：
1 ˆ N
2 x
2 ˆ ( x m ) n x n 0
N 1
N |m|1 1 自相关函数的估计： ˆxx (m) r x(n) x(n m) N | m | n 0
信号和噪声不相关时
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
因果IIR维纳滤波求解：
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
1 h hopt Rxx Rxd
2 * T 1 2 * T E[| e(n) |2 ]min d ( Rxd ) Rxx Rxd d ( Rxd ) hopt
h1 h 2 h hM
rxd (0) r (1) Rxd xd rxd ( M 1)
k 1 p
ˆ (n) x(n) a pk x(n k ) a pk x(n k ) e(n) x(n) x
k 1 k 0
p
p
ˆ(n))] E[e* (n) x(n)] E[| e(n) |2 ]min E[e* (n)( x(n) x
p * * E x (n) a pk x (n k ) x(n) k 1
谱分解定理：
如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定 存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),
q q
H ( z)
满足
B( z ) A( z )
k b z k k a z k k 0 k 0 p

1 ( 1 z ) k 1 ( 1 z ) k k 1 k 1 p
min
e
j
2 j
hopt (n)
维纳—霍夫方程：
* * * E x(n k ) d (n) h (m) x (n m) 0 m 0
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h( k ) rxx ( k )
rxx (0) a pk rxx (k )
k 1
p
得到下面的方程组：
rxx (0) a pk rxx (k ) E[| e(n) | ]min k 1 p rxx (l ) a pk rxx (k l ) 0 l 1,2, , p k 1
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
cov xx (m)
2 mx
m
m
rxx (m) 的特性
cov xx (m) 的特性
rxx (m) rxx (m), cov xx (m) cov xx (m) rxy (m) ryx (m), cov xy (m) cov yx (m)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
主要内容：



FIR维纳滤波求解 IIR维纳滤波求解 维纳一步线性预测
最佳滤波器：
s(n) x(n) h(n) y(n) v(n)
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
e(n) s(n) y(n)
2 2 min E e ( n ) h ( n ) E e opt ( n) min

自相关函数及其性质：

对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的 自相关函数来高度概括。 对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数， 就等于知道了该随机信号的主要数字特征。
2 Dx2 E x n rxx (0); 2 mx rxx (); 2 2 x2 E x n m x rxx (0) rxx ( )
m0

k=0,法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n) H(z) (a)
ˆ( n) y ( n) s
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ( n) y ( n) s
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
非因果IIR维纳滤波求解：
r xd (k )
m
h ( m) r

xx
(k m) h(k ) rxx (k )
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
rxx (0) | rxx (m) |
各态遍历性：
只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特 征，就可以用一个实现来表示总体的特性。
1 N mx (n) E[ X (n)] lim x(n, i ) N N i 1
N 1 x(n) lim x ( n) N 2 N 1 n N
w( n )
q
H( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
x( n )
ARMA模型 MA模型
B( z ) H ( z) A( z )
Pxx ( )
2 w
B (e ) A(e j )
2 w j
j
2
H ( z ) B( z )
Pxx ( ) B(e )
〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
功率密度谱：
维纳–––辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）
Pxx (e ) rxx (m)e
j

j m
1 rxx (m) 2
P
-

xx
(e )e
j
j m
d
Pxx () Pxx ()
m
0 m M 1 0 m m
FIR 维纳滤波器 因果IIR 维纳滤波器 非因果IIR 维纳滤波器
FIR维纳滤波求解：
rxd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m 0 M 1
k=0, 1, 2, …
Rxd Rxxh
1 ' ˆxx r ( m) N
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统：
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k

m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k

rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0) rxx (1)
rxx m rxs m rxv m rss m rvv m
p 2
将方程组写成矩阵形式 （Yule-Walker方程）
rxx (0) rxx (1) rxx ( p) rxx (1) rxx (0) rxx ( p 1) r ( p) r ( p 1) r (0) xx xx xx
Pxx ( z) H ( z)H ( z )
2 w 1
0
2 w
式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。
rxx(m)
Z变换 Z反变换
Pxx(z)
谱分解
H (z )
2 Pxx ( z) w H ( z)H ( z 1 )
自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系
〈x(n)〉=mx=E［X(n)］
1 N * rxx (n, m) E[ X (n) X (m)] lim x (n, i)x(m, i) N N i 1
*
N 1 * x (n) x(n m) lim x (n) x(n m) N 2 N 1 n N *
相关卷积定理：

卷积的相关函数等于相关函数的卷积
e(n)=a(n)*b(n)
f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m)
ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)
r h (m) h(m), rh (m) h(m)
时间序列信号模型：
因果维纳滤波器的复频域最佳解为
1 S xs ( z ) H opt ( z ) 2 1 B( z ) B( z ) B ( z ) Gopt ( z ) 1
因果维纳滤波的最小均方误差为
E[| e(n) |2 ]min rss (0)