所以
由于
在整个复平面上连续， 但只在原点满 C足 R
条件， 所以 f(z)只在 z0处可而 导 处， 处不解析 .
.
例讨论函f(z数 )x2iy的可微性与 . 解析性
解
由 得
由u于 x,uy,vx,vy在整个复平 所面 f以 (z)在 上直 连 x 线 续 1 2
上可导， 但处处不解析 .
.
例 验证函数 并求其导数.
y
U (z0)
o
•z 0 •z 1
x
.
z0和 z是 Ar的 gz支 . 点
y
z•
•z 1
o
x
y
o
x
每一z 条 0和 z 连 的 接 简单 称 连 作 续 多 A曲 zr 的一条支割线. 在区C域 上Arzg能分出无限多值 个分 连.支 续
例设
单值分支 . 假设
argz是幅角A 函rzg数 的一个连
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
.
设
则主值幅角函a数rgz是
D上的一个连续单值分支 .
对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支.
在D上可分出无限多个连单续值分支.
上沿 下沿
区域 D的边界是负实轴及原点
负实轴分上沿和下沿
主值幅角函数
可以连续延拓到负实轴上沿和下沿，
在上沿取值，在下沿取值 .
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
.
令
得
由
得
Cauchy-Riemann方程
.
定设 理函 f(z) u ( 数 x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
（ 1）实u(部 x,y)和虚v(x部 ,y)在点 (x,y)处存在一阶 (2)u(x,y)和 v(x,y)满足 -黎 柯 曼 西 方 C R 程 方（ :程
A (y ) B '(y )A ,'(y ) B (y ),
.
所以， 因此，
A (y) co y,B s (y) siy,n
f(z)ex(cy osisiyn ).
定义
设zxiy,则复函数
称作复指数函数，记作
.
复指数函数的性质：
(1 )若 z x (y 0 )则 ,e z e x.
(2)
(3) ez处处解析(e， z)且 ez.
.
其中
满足条件
设
则
所以
.
其中
由于 所以
即
.
注：
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实u部 (x,y)和虚 v(x,部 y)在区 D 内 域处处可 (2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
当 时
.
时，
f(z)在区G中 域每一点连f(续 z)在 ， G内 则 连 称 续
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
.
例 求证 f(z)： arzg (z0)在整个复平 和面 负除 实去 数
域上连续， 上在 不负 连实 续数 。轴
解： 当z0 在负实数轴上时,有
对满 0|z足 z0|(0)的一 z，切 都有 | f(z)A|，
则称 A为函f(数 z)当z趋于 z0时的极限，记作 z l z 0 if( m z ) A 或 f( z ) A ( z z 0 )
.
时，
当
当
时，
当
时，
.
命题 设 当且仅当 证明 如果 则
使得当
则 时，
.
所以 反之，若 则 所以, 当
定义 对于任何复z数 ,规定
.
三角函数的性质
(1) 若 zxR,则 复 正 弦 函函 数数 和等 复于 余实 弦正 实余弦 . 函数
（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数
证明
.
（3）cosz 和 sinz 是以 2π 为周期的周期函数:
证明
.
证明
.
证明
.
(6)
和
证明
在整个复平面上解析,且
.
推论 设函 f(z) 数 u(x,y)i(vx,y)在区 D 内 域 有 且满足
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，
(2 )u (x,y)和 v(x,y)在 D 内 满足 -黎 柯 曼 :西 方程
u v u v
x y y x
则f(z)在区D域 内解 . 析
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在（为,并 有且 限等 的 A， 于 复则 复 数称 f数 ） (z)在 函 z0可 数微
或可 , A称 导为函 f(z数 )在z0的导数，记为
f '(z0)，或ddwzzz0,
即
f'(z0) lz i0m f(z0 zz)f(z0)，
.
定义 对任意 0， 的可以找到 一 ()使 个 , 得 正 0|zz0|时，有
.
思考题： 幅角函数
答：否.
在整个复平面上能否出分连续单值分支？
.
定义 设 是一个多值函数，
是 的任
意一个邻域, 是
内任一绕 一周的简单闭曲线. 在
上取一点 , 我们从与 对应的多个值中取出一个与其对应，
设为 , 让点 从 出发，沿 绕 一周，回到 , 对应
的值从 连续变化为 如果
则称 为
的一个支点.
计算
和
.
y
解
1 2
3 2
i
i
•
•
3 2
1 2
i•
z
o
x
例设
是Argz 在D上的一个连续单值 分支，满 arg足 10. 计f算 (1)和 f(4).
解
x
o 5 4 3 2 1
1
z
.
对数函数
定义 满足 ewz 方 (z0 )的 程复 w 称数 为 z的 复 对 数 记为 wLnz。 注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周 期为2π的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。
.
(7) 正弦函数 的零点为
余弦函数
的零点为
证明 由
即
得
.
(8 ) 对于
和
证明 设
都不成立. 在复平面上为无界函数 .
则
.
例 计算 解
.
定义 上述四个函数在各自的定义域内解析，且
定义
双曲正弦
双 幅角函数
对于
其中
是幅角主值：
如果对每一个非零复数 z , 我们选取其一个幅角与之对应， 则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
.
反函数求导法则
设w 函 f(z)在 数D 区 内域 解 f'(z 析 ) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式 以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结 论基本相同。
.
例证明f(z)z处处不可. 微
第二章 复函数
1. 极限与连续性
§1.解析函数
单值函数：
对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。
多值函数：
至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。 .
yz
o
x
vw
o
u
.
.
复变函数极限的定义
设函 w f(数 z)在 z0 的空0心 |zz邻 0|域
内有 如定 果存 义 在 A (。 A 一 )， 个 使 复 得 0， 数 0,
y
v
o
x
o
u
若
则
将直线
映射成圆周
若
则
将直线
映射成射线
.
若
则
wez在宽度小2于的水平带形内是.一一的
wez将z平面上的{水 z： -平 Im 带 z形 }一对一地映
w平面上的去实 掉轴 原后 点剩 及下 负区 部.域 分构成
y
v
i
o
i
x
.
o
u
三角函数
由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：
所以有
证明
由于
在复平面C上处处解析，
在平面上连续， 且满C足 R条件所， 以 在复平面C上处处解析，
.
§2.初等函数
1.指数函数 实指数函数的性质
(3)ex处处可微(e， x)且 ex.
（4）e x是单调增函数，且
.
指数函数的定义域的扩充
要求复 zx变 iy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) xR, f(x)ex;
az r0 g az r g az r0 g
所以
|arzgarzg0|，
即f (z)在z0连续。
.
例设
证明 limf (z)不存.在 z0
证明 设
则
所以
所以limf (z)不存.在 z0 .
2. 导数·解析函数
定义 设函w 数 f(z)在点 z0的某邻域内有 值定 函义 数
z0z是邻域内任意 果一 极点 限，如
.
定理 函f数 (z)u(x,y)iv (x,y)区D 域 内解析 条件是
(1) 实部 u(x,y)和虚v(x部 ,y)在区D内 域存在一阶 导函数，