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当且仅当下面两式有一个成立即可
u# e & w’pv " G nu s p sv" e u#
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& x’nv " G pu s n sv " t rt 定理 y & 消元公式 ’给定 z 存在 ~ 以致于 G { G | G zo p G { G |具有 }行 G
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则下面两个条件是等价的 ! 则存在 .+ ,满足 /0 , " #$控制器式 " % % $是一个 &’ 控制 ( " )$*+ , ! 6 式" 是有界实引理 显然不等式 " 含控制器式 " 的各系数阵 2和正定阵 . 并且由于 3 % 1 $ % 1 $ % % $ 3 4 5 4 5 等项 的出现 使得关于未知参数 2和 .是二次的 即式 " 是一个 789 问题 直接求解比较困难 ! 利用矩阵理论 % 1 $ % A B 问题转化为 : 问题 通常是首先用 ; 补@ 可使不等式 " 的可解性等价于式 " 的 可 以将凸 789 89 < = > ? % 1 $ % C $ 可
! " " !年 # #月 第# $卷第 %期
西安石油学院学报 & 自然科学版 ’ ( ) * + , . ) / 0 1 2 ,3 4 5 + ) . 4 * 67 , 8 5 1 5 * 5 4 & 95 * + . : ; 1 4 , ; 4< = 1 5 1 ) , ’
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R M ST N L n q n q n q 万方数据 $ fV [ UN N n q n q R R R R K ST S K L S M N n q n q T L n q n q n q T L n q n q R N N n q n q U [
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0 @ " 2
穆向阳等 q 基于 : 的鲁棒控制器设计 89
6 6 JD .E . D . F 4 5 4 5 4 5
L 3 4 5 I 4 5
F . 4 5
6 4 5
GH
6 4 5
" % C $
GH 3 I K M 解性 ! 将式 " 代入式 注意到它对 经适当推导 不等式 " % A $ " % C $ 2的线性关系 % C $的可解性又可等价于
6 3 2 FE " 3 2 F $ E N0 , R R R R R
" % O $ J3 S
R
的可解性 ! 3 F N的表达式为
" % U $ 6 , 3 I GH % % TTTTTTTTTTTT R KP . , ,M F S 其中 是无 关紧要 的项 由式 可 以 明 显地 看 出 控 制器 和正 定阵 进 一步利 用矩 阵消元 P ! " % U $ 2 .已经分 开 ! A B 法@ 则可将关于 2的 : 式的可解性转化为定理 S的条件 ! 89
R 6 % R@P FBQ3 NI % S
引理 V 设 3 且 3不行满秩 则式 " F N已知 F不列满秩 % O $可解的充分必要条件是
W WX 6 W 6 W6 3 N 3 0, " F $ N " F $ 0, " % Y $ W W W W6 其中 3 为 3的正交补 满中 3 3Q , 3 3 +, ! 6 W 6 W6 显 然式" 仅仅是以正定阵 .为自变量的函数 ! 但是因为 F与 .有关 故式 " 中的 " % Y $ % Y $ F $N " F $ 0
穆向阳 ! 吴旭光 F 王晓利 F G G
西安石油学院 自动化及电力工程系 G 陕西 西安 & $ # " " % H ’
摘要 A 描述了线性矩阵不等式 & 的标准形式 G 研究了常见的控制问题与 ‘ 的关系 ? 重点讨论 ’ ‘ a7 a7 了基于 ‘ 方法的鲁棒控制器设计问题 G 以及 鲁 棒 控制的 分析和综 合问题 G 推 导了将 鲁棒控 制器 a7 设 计问题转化为线性 矩阵 不等式 & 形式 G 给出 了通 过求 解 ‘ 构 造控制 律的 算法 ? 以某 水下 ’ ‘ a7 a7 航行器为例 G 设计了基于 ‘ 的鲁棒控制器 ? 仿真结果验证了所给控制律算法的有效性 ? a7 关键词 A 线性矩阵不等式 b 鲁棒控制器 cd 控制 b 中图分类号 A # F e 3 文献标识码 A f
l / m . 控制器 * 为
‘ _ _ d / bV M _ d A nV K n nT L n n nT N n g n 为控制器状态 经一定的推导 由式 其中 _ A / 0 @ = 2和 0 @ @ 2构成的闭环系统为 ne o ‘ _ _ a / c VM _ a A n pV K n q n qT L n q n q n qT N n q R R R * m r B . 其中 _ 各系数阵可以表示为 __ / n qV * n. 为闭环系统状态 s s s K K L L n q L n q @ + s s V s s T s ^ * M N . + + @ M N M N N n q n q @ @ @ @ + 式0 @ 2右边各系数矩阵分别为
万方数据 作者简介 穆向阳 & 男G 陕西大荔人 G 讲师 G 硕士 G 主要从事自动化方面的教学与研究工作 ? A # C % C B ’ G
% ’ &%
西安石油学院学报 0 自然科学版 2
方法的 %& 控制器存在条件 ! 基于 " #$
+ , . 鲁棒控制是目前应用 ’ 最多的领域 * 在 %& 控制理论中 / 要求系统的传递函数 %0 () / 1 2的无穷范数
一般还不是 .的 : 问题 因此 不等式 " 有可能定义的是关于 .的非凸问题 ! 为了求解这两个不等式 , 89 % Y $ 定义两个 : 的解集合如下 ! 89
W W6 6 6 6 6 e L b h SL J SL J3 D \E \ D E3 3 \ F I % % % E 3 % % % J _ ‘_ 6 Z \] ^ ( \Q \ + , -R 0 , g( [ Qd R R R R R R 6 6 KI M K F K % M % S S f \E I 3 I I i % % % % % % % % G aM c R R R R R R R R R
0 @ l 2
R R u= [ = M K n nw 称 式0 为系统 0 和控制器 0 的标准闭环结构 / 其中 ^为控制器系数矩阵 A @ + 2 / 0 @ 2 / 0 @ l 2 @ = 2 @ @ 2 %& 控制器的设 计目的是设计控制器 ^ 使得闭环系统式 0 / @ + 2满足式 0 B 2 A
3%0 1 3& 4 5 6 7 8 3%0 1 2 39 : ;1< = >? @ A 0 B 2 有界实引理 0 当 C D 6 E F ; F , G ; H I I ; JJH 2描述了一个系统 0 K /L /M /N2的传递函数满足式 0 B 2的条 件是 / 且仅当 : 方程 O P P H Q O
0 @ @ 2
0 @ + 2
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. *
. * .
xxxxxxx xxxxxxx
0 @ 2
s tK s M @ s uM +
L =v @ + tK = L s s L L = = = = [ @ + v xxxxxxxxxx s s = N N = M N N @ @ @ @ + @ @ @ + V xxxxxxxxxx s s R R R w M = N N L N ^ + + @ n n + @
方程在 现 代 控制 理 论 中 扮 演 着 一 个 重 要 的 角 色 ? 其 意 义 在 于A 首 先G 大部分系 ‘ 1 g * , ) >方 程和 h 1 ; ; 5 1 统 分析和综合问题均 可由这些方 程 的 解来 表 述 b 另外G 这两种矩阵方程的可解性也是其得以广泛应用的基
# B F j 础? 尤其是在最近几年 G 由于内点算法 i 可利用计算机求解高阶矩阵不等式成为可能 G 使得线性矩阵不等式
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6 6 D .E . . F % R
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W W6 6 6 6 6 6 L l e h S L J S L JF k DE D kE F k 3 % F % %E F % I % % J _ ‘_ 6 Z k] ^ ( kQ k + , -R g! 0 , jQd R R R R R R 6 6 6 6 6 6 KI KI S %M K S %M 3 I M f i % kE I % % F % % % I % % G a 根据 Z 和 两个解集合 则系统式 的 控制器设计可由以下定理计算 Z " % , $ &’ ! [ j 定理 m 下面的叙述是等价的 !
R R R R U@ R R K ST S KT M MT 0 S LT M N2 0 @U N N2 0 S LU M N2 V= A 0 W 2 R 有 一个正定解 SV S 而式 是一个双线性不等式 问题 利用 补公式 式 的可解 <= A 0 W 2 0 X() 2 A Y P Z 6 G / 0 W 2