1.2 弹性反应谱在Maurice A. Biot []首先提出弹性反应谱的概念之后，经若干学者的发展，反应谱的概念已得到了较大程度的推广，且反应谱现在已被广泛地应用于地震工程的各个方面（如地震危险性分析、结构抗震设计、地震加速度记录的选择和调整及基于性能的地震工程等）。
目前，反应谱主要包括：傅立叶谱、弹性反应谱、弹塑性反应谱、能量反应谱和损伤谱等。
以下主要介绍弹性反应谱的定义，其余反应谱的定义与弹性反应谱类似。
所谓弹性反应谱就是在给定的地震加速度输入下，单自由度弹性系统的最大反应和体系的自振特征（自振周期或频率和阻尼比）之间的函数关系。
单自由度弹性系统的最大反应可以是：相对于地面的最大位移、相对于地面的最大速度、最大绝对加速度、拟速度和拟加速度。
在地面加速度的激励下，单自由度弹性系统的动力平衡方程为：)()()()(t u m t ku t u c t u m g -=++(1.1)式（1）的解可由Duhamel 积分求得：ττωτωτξωd t e u t u D t tg D)(sin )(1)()(0--=--⎰(1.2)将式（1.2）求导可得相对速度反应为：ττωτωτξωd t e ut uD t tg D)(sin )(1)()(0--=--⎰(1.3)将式（1.3）求导再与地面加速度相加可得绝对加速度反应为：ττωτωτξωd t e u t u t u D t tg Dg )(sin )(1)()()(0--=+--⎰(1.4)在式（1.1）～（1.4）中，m 为单自由度弹性体系的质量；c 为阻尼系数；k为体系的刚度系数；u(t)为体系相对于地面的位移；)(t u为体系的相对速度；)(t u 为体系的相对加速度；)(t u g 为地面加速度；ω为体系的无阻尼自振圆频率(ω2=2π/T=k/m )；T 为体系自振周期；ζ为阻尼比（ζ=c/2m ω）；ωD 为体系的有阻尼自振圆频率（21ξωω-=D ）。
根据弹性反应谱的定义可知，绝对加速度反应谱、速度反应谱和位移反应谱分别为：ττωτωξτξωd t e u t u t u T S D t tg Dg a )(sin )(1)()(),()(0max --=+=--⎰ (1.5) ττωτωξτξωd t e ut u T S D t tg Dv )(sin )(1)(),()(0max--==--⎰(1.6)ττωτωξτξωd t e u t u T S D t tg Dd )(sin )(1)(),()(0max --==--⎰(1.7)此外，令),(),(),,(),(2ξωξξωξT S T PSA T S T PSV d d ==，则有：==),(),(ξωξT S T PSV d (1.8) ==),(),(2ξωξT S T PSA d (1.9)其中，),(ξT PSV 和),(ξT PSA 分别为拟速度反应谱和拟加速度反应谱。
当周期不太长及阻尼比较小时，S v (T, ζ)和PSV (T, ζ)及S a (T, ζ)和PSA (T, ζ)之间的区别通常可忽略。
对于无阻尼体系，S a (T, ζ)= PSA (T, ζ)，但S v (T, ζ) ≠PSV (T, ζ)。
随着周期和阻尼比的增大，拟反应谱与反应谱之间的区别将逐渐增大。
例如：当周期很长时（如T →∞），体系的绝对位移趋于0，因而体系的相对位移将趋于地面位移。
所以当周期很长时，S d (T, ζ)趋于峰值地面位移PGD ，S v (T, ζ)趋于峰值地面速度PGV ，S a (T, ζ)趋于0。
然而由PSV (T, ζ)和PSA (T, ζ)定义可知，当周期很长时（如T →∞），PSV (T, ζ)和PSA (T, ζ)均趋于0。
因此，在长周期的范围内，S v (T, ζ)和PSV (T, ζ)将有显著的区别。
根据以上弹性反应谱的定义可知，弹性反应谱仅适用于线弹性体系，它包含了地面运动和体系弹性反应的特征，但不能反映体系非弹性反应和累积损伤的特征。
1.3 设计反应谱由于弹性反应谱是由一条地面加速度记录计算得到的，它仅反映了该条记录的特征，所以为了设计的目的，应使用设计反应谱。
设计反应谱是对大量不同地震中记录到的不同地面记录经统计分析再结合工程经验加以修正而得到的。
不同的学者提出不同的设计反应谱。
由Housner []、Seed 等[]、Newmark 等[]和Newmark and Hall []提出的设计反应谱被广泛地使用。
此外，世界各国的抗震设计规范及指导均给出了相应的设计反应谱。
以下主要介绍 中给出的设计反应谱。
欧洲结构抗震设计规范EC8[]中的水平弹性设计反应谱由四部分组成（如图1.1所示）：直线上升段（周期小于T B 的区段）、水平段（T B 至T C 的区段）、衰减指数为1的曲线下降段（T C 至T D 的区段）和衰减指数为2的曲线下降段（T D 至4s 的区段）。
各区段反应谱曲线的计算表达式由式（1.10）给出。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤-+=45.25.25.20)]15.2(1[)(2T T TTT S a T T T T TS a T T T S a T T T TS a T S D DC gD C Cg C B g BBg e ηηηη (1.10)式中，S e (T)为水平弹性加速度谱；T 为体系自振周期；a g 为A 类场地的设计地面加速度（a g =γ1a gR ，γ1为重要性系数，与结构重要性等级有关；a gR 为A 类场地的参考峰值地面加速度，与结构的重现期或超越概率有关）；T B 和T C 分别为加速度平台段的下限周期和上限周期；T D 为位移敏感区的起始周期；S 为土的放大系数；η为阻尼调整系数，阻尼比为5%时η=1（)5/(10ξη+=，ξ为结构阻尼比）。
EC 8规定在0≤T≤4s 的范围内位移反应谱可由加速度反应谱采用下式计算得到：2)2(πT S S e De = (1.11) 对比(1.11)和 (1.9)式可知，EC8中给出的加速度反应谱为拟加速度反应谱。
此外，EC8提供了两个水准的地震作用，分别用于承载力极限状态和损伤极限状态的设计。
对于承载力极限状态而言，EC8建议采用重现期为475年或50年超越概率为10%所对应的参考峰值地面加速度a gR 来确定相应的设计反应谱。
对于损伤极限状态而言，EC8建议采用重现期为95年或10年超越概率为10%所对应的参考峰值地面加速度a gR 来确定相应的设计反应谱。
两种水准下反应谱的形状相同。
式（1.10）中的T B 、T C 和T D 与震级和场地类别有关。
EC8按震级将反应谱分为Ⅰ和Ⅱ两类。
当对场点的地震危险性贡献最大的面波震级M s 小于5.5时，应采用第Ⅱ类反应谱，其他情况下采用第Ⅰ类反应谱。
两类反应谱在不同场地类别下参数T B 、T C 和T D 的值见表1.1和1.2。
表1.1 EC8中描述第Ⅰ类反应谱的参数值 场地类别S T B (s) T C (s) T D (s) A 1.00 0.15 0.40 2.00 B 1.20 0.15 0.50 2.00 C 1.15 0.20 0.60 2.00 D 1.35 0.20 0.80 2.00 E1.400.150.502.00表1.2 EC8中描述第Ⅱ类反应谱的参数值 场地类别S T B (s) T C (s) T D (s) A 1.00 0.05 0.25 1.20 B 1.35 0.05 0.25 1.20 C 1.50 0.10 0.25 1.20 D 1.80 0.10 0.30 1.20 E1.600.050.251.20图1.2给出了阻尼比为5%时，A 至E 类场地第Ⅰ和Ⅱ类弹性反应谱曲线。
由图可见，场地类别不仅对反应谱形状有影响，还对反应谱的平台段高度有影响。
EC8除了给出自振周期在0到4s 的拟加速度反应谱外，在附录A 中，EC8对弹性位移反应谱给出了相应的规定，该位移反应谱与第Ⅰ类拟加速度反应谱相对应且代表了周期大于4s 的结构的地震作用（见图1.3）。
当结构的自振周期不超过T E （见表1.3）时，弹性位移反应谱可采用式（1.11）求得；当自振周期超过T E 时，弹性位移反应谱采用规范中的计算公式计算。
在整个周期范围内，弹性位移反应谱的计算公式由式（1.12）给出。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤---+≤=Fg FE EF E D C g Ee De T T d T T T T T T T T ST a T T T T S T S )]5.21)((5.2[025.0)2)(()(2ηηπ(1.12)式中，S e 为拟加速度反应谱，见式（1.10）；T B 、T C 、T D 和S 见表1.1；η为阻尼调整系数；T E 和T F 为位移反应谱的控制周期，见表1.3；d g 为峰值地面位移。
峰值地面位移d g 采用下式计算：D C g g T ST a d 025.0= (1.13)当结构周期大于4s 时，第Ⅰ类弹性拟加速度反应谱可根据第Ⅰ类弹性位移反应谱并利用表达式22/)(4)(T T S T S De e π=求得。
表1.3 第Ⅰ类位移反应谱的控制周期 场地类别 T E (s) T F (s) A 4.5 10 B 5 10 C 6 10 D 6 10 E610我国抗震规范所采用的设计反应谱是以地震影响系数曲线的形式给出的。
《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）[]中的地震影响系数曲线由四部分组成（如图1.1所示）：直线上升段（周期小于0.1s 的区段）、水平段（0.1s 至特征周期T g 的区段）、曲线下降段（T g 至5T g 的区段）和直线下降段（5T g 至6s 的区段）。
各区段地震影响系数曲线的计算表达式由式（1.10）给出，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数由式（1.11）给出。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤<≤<≤-+=0.65)]5(2.0[5)(1.01.0]1.0)45.0(45.0[max 12max2max 2max 2T T T T T T T T TT T T T g g gg g gαηηαηαηαηαγγ (1.10)805.002.01ξη-+= ξξγ55.005.09.0+-+= ξξη7.106.005.012+-+= (1.11)在式（1.10）～（1.11）中，α为地震影响系数；αmax 为地震影响系数最大值；η1为直线下降段的下降斜率调整系数，小于0时取0；γ为曲线下降段的衰减指数；η2为阻尼调整系数，当小于0.55时取0.55；T g 为特征周期；T 为结构自振周期。