❖根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的
充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方
程：
| [K ] 2[M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖根据特征方程： ([K] 2[M ]){} 0
❖对应于频率方程中的每一个根，都存在特征方 程的一个非零解{ϕj}，称为振型向量，或叫特 征向量，或叫模态向量。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖采用振型分解法可求得体系各质点的位移、速 度和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而 言，振型分解法还是较为复杂，且运用不便。
❖注意到工程抗震设计时仅关心各质点反应的最 大值，给合单自由度体系的反应谱理论，在振 型分解法的基础上，可导出更实用的振型分解 反应谱法。
}T
[
M
]{i
}
{i
}T
[
K
]{
j
}
2 j
{i
}T
[
M
]{
j
}
❖左式不变，而对右式进行转置运算可得
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 i
{
j
}T
[
M
]{i
}
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 j
{
j
}T
[
M
]{i
}
第三章 建筑结构抗震原理
•8/180
§4 多自由度体系地震反应分析
2.振型正交性 ❖对ωj≠ωi，则有：
{ j }T [M ]{i } 0
n
n
❖根据前述 Fi (t) mi j ji (xg (t) j (t)) Fji (t)
❖结构在任一时刻所受j1的地震作用等于结j构1 对应
于各振型的地震作用之和。
❖应该注意到，当某一振型的地震作用达到最大 值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最
大值，因而结构地震作用的最大值并不等于各 振型地震作用最大值之和。
2. 振型的正交性 ❖根据特征方程： ([K] 2[M ]){} 0
❖分别对振型i、j列出运动方程：
[K]{i} i2[M ]{i}
[
K
]{
j
}
2 j
[M
]{
j
}
❖左式(a)两边乘以向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两 边乘以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 i
{
j
j 1
(3-67)
❖称为i质点对应j振型的水平地震作用。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖根据前述反应谱的概念，由此可得，
Fji Fji (t) max mi j ji[xg (t) j (t)]max mi j ji Sa ( j , j )
(mi
g
)
j
ji
S
a
( j ,
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖思路：利用各振型相互正交的特性，将原来耦 联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若 干个单自由度体系的问题；
❖求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将 各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的 地震反应。
Sja —相应于j振型自振频率ωj和阻尼比ξj的水平向地 震加速度反应谱值；
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
φji —j振型i质点的水平相对位移；
γj
—j振型的参与系数；
j
X T M I
X
T
j
M
X
j
j
n
mi x ji
i 1
n
mi
x
2 ji
Gi —集中于i质点的重力荷载代表值。i1
土木工程专业本科专业课
工程抗震原理
Principles of Seismic Engineering
第三章 建筑结构抗震原理
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖一般情况下，当任意两个振型频率之比大于2 或小于0.5时，可以不考虑振型之间的相关性。
❖此外，当阻尼比ξ≤0.1时，工程设计中通常取振
型阻尼比ξi=ξj=ξ，如满足
i j
0.1 0.1
则可以认为ρij近似为零，此时振型组合公式可
改写为：
m
S
S
2 j
j 1
称为“平方和开平方”法，简称SRSS法
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖一般的多自由度线弹性体系，式(3-59)可写成 如下形式
n
{u(t)} { j}q j (t) []{q(t)} j 1
(3-60)
其中： {u(t)} ----位移向量 {u(t)} {u1(t) u2 (t)
un (t)}T
{q(t)} ----广义坐标向量 {q(t)} {q1(t) q2(t)
g
j
)
Gi
j
ji
S ja g
Gi j ji j
j j jiGi
❖因此，结构的水平地震作用按下式计算：
Fji
j
j jiGi
S ja
j ji
Gi g
(3-68)
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
式中，Fji —j振型i质点的水平地震作用； αj —相应于j振型自振频率ωj和阻尼比ξj的水平地震影 响系数；
Mj
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.2 地震反应分析的振型叠加法
1. 振型与自振频率 ❖求解弹性体系的自振频率和振型称为自振特性
分析。
❖由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于 体系自身的性质，而与时间无关，所以从广义 的观点，自振特性分析的基本手段是变量分离 法，即把时间因素与结构位置因素分离后，利 用特征方程具有非零解的充分必要条件求取自 振频率及相应的振型。
{ j}T [K]{i} 0 { j}T [C]{i} 0
2 j
Kj
/
M
j
2 j j C j / M j
4 求解多自由度反应的振型分解法
q j
(t)
2
j
j
q
j
(t)
2 j
q(t)
j
xg
(t)
( j 1,2,, n)
n
{u(t)} { j}q j (t) j 1
j
{ j}T [M ]{I}
(Square Root of Sum of Squares )。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖《建筑抗震设计规范》规定，结构的水平地震 作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）按下 式计算：
SEk
S
❖同时有：
{ j }T [K ]{i } 0
(i j) (i j)
❖分别称为振型对质量矩阵的正交性和振型对刚 度矩阵的正交性。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖振型的两两正交特性说明它们具备作为一类线 性空间基底的基本条件。
❖事实上，由振型向量所张成的线性空间正是一 般动力反应空间，在这空间的任一点表示一个 特定的动力反应，并且这一点的坐标值可由关 于基底（振型）的广义坐标给出。
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
M jqj (t) Cjqj (t) K jqj (t) {j}T[M ]{I}xg (t) ( j 1, 2, , n)
注意到
2 j
Kj
/Mj
，2 j j
Cj
/ M j ，上式可化成
q
j
(t)
2
j
j
q
j
(t)
2 j
q(t
)
j
xg
(t)
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
❖上次课重点回顾： 多自由度体系地震反应分析
1 动力方程的建立
[M ]{u} [C]{u} [K]{u} [M ]{I}xg
2 振型、频率 [K]2 M 0
3 振型的正交性
{j}T [M]{i} 0 C 0M 1K
qj (t)
{ j}T [M ]{u(t)} { j}T [M ]{ j}
1 M
j
{ j}T [M
]{u(t)}
（3-61）
❖在水平地震运动作用下，多自由度弹性体系的
运动方程为：
[M ]{u} [C]{u} [K ]{u} [M ]{I}xg (t) （3-40）