（2.3）
Z (t ) AZ (t ) BU (t ) DF (t )
其中：

Z (t0 ) Z 0
（2.4）
On A 1 M K
On p B 1 M Bs
M C 2 n2 n In
1
2 n p
Onr D 1 M Ds 2 nr
1.2.2 结构控制系统状态向量和最优控制力
， R I
使用 Matlab 软件中 lsim 函数计算连续状态方程的状态向量 Z(t)，如下式。
[ y0 , Z ] lism(( A BG), D, C0 , D0 , x g , T )

（2.6）
其中，权矩阵 C0 和 D0 为观测输出矩阵；因 LQR 控制算法是全状态反馈，故此 C0 和 D0 分别取为单位 矩阵和零矩阵；T 是地震作用时间向量，包括采样时间步长和总持续时间；y0 是输出向量，针对 LQR 算法， 它与状态向量 Z 相同。 将式（2.6）解得的状态向量 Z，代入下式，可求得最优控制力 U，即 （2.7） U GZ ' 将状态向量 Z 和式（2.7）代入式（2.7）得下式
0 引言
在地震区的多层建筑中，采用主动控制方式来减小地震对结构的不利作用，通过前人大量的理论和试 验研究，事实证明 LQR 最优控制对减小地震作用的效果是明显的。为了得到最优的控制效果，分别选用不 同的权矩阵 Q 和 R 进行计算，并加以比较，说明控制规律。本文先通过 LQR 最优控制理论，列出连续时间 状态方程，并给出求解方法；再用一个五层框架结构的算例，用该方法求出结构的层间位移、加速度和控 制力，以及有控结构的阻尼和频率特性，与无控情况下结构的动力响应进行比较，得出了相关结论。
M X (t ) C X (t ) KX (t ) Ds F (t ) BsU (t )
定义系统（2.2）的状态向量 Z(t)


（2.2）
X n1 Z (t ) X n1
在状态空间中，有方程（2.2）描述的受控结构系统可以用如下状态方程描述：
%% LQR 控制算法的结构振动控制算例 %% M=4*10^5*eye(5);%% 质量矩阵 K=10^8*[4 -2 0 0 0;-2 4 -2 0 0;0 -2 4 -2 0;0 0 -2 4 -2;0 0 0 -2 2];%% 刚度矩阵 [V,R0]=eig(inv(M)*K);%% 特征向量（阵型）和特征值（自振频率） %% 用循环体来实现归一化 R1=diag(R0);w_eig=sqrt(R1); for j=1:5 for i=1:5 V(i,j)=V(i,j)/V(5,j); end end %% 确定 Rayleigh 阻尼 ypxl1=0.05;ypxl2=0.05; a=2*w_eig(1)*w_eig(2)*(ypxl1*w_eig(2)-ypxl2*w_eig(1))/(w_eig(2)^2-w_eig(1)^2); b=2*(ypxl2*w_eig(2)-ypxl1*w_eig(1))/(w_eig(2)^2-w_eig(1)^2); C=a*M+b*K; %% 设置主动控制装置，控制力矩阵 U=[u1 u2 u3 u4 u5]'和其位置矩阵 B Bs=[1 -1 0 0 0;0 1 -1 0 0;0 0 1 -1 0;0 0 0 1 -1;0 0 0 0 1]; %% 状态方程 DZ=AZ+BU+D^2Xg 和 Z(0)=0 %% %% Z=[x1 x2 x3 x4 x5 dx1 dx2 dx3 dx4 dx5]' %% A=[zeros(5) eye(5);-inv(M)*K -inv(M)*C]; B=[zeros(5);inv(M)*Bs]; D=[zeros(5,1);-inv(M)*M*ones(5,1)]; %% LQR 控制算法（线性二次型最优控制） %% 设置控制参数，权矩阵 Q 和 R,它们决定了控制力和结构反应的大小 %% erfa=[100 50 53.3]; for i=1:3 Q=erfa(i)*[K zeros(5);zeros(5) M]; switch i case 1, Q1=Q; case 2, Q2=Q; case 3, Q3=Q; otherwise, a1=Q; end end
eig( A BG) a ia 1 2
（2.9）
式中， a 和 分别是结构控制系统的频率和总阻尼比（无控结构和有空结构附加阻尼比之和） 。 由特征值表达式（2.9）的实部和虚部可求得受控结构的频率和阻尼比。
2
4 算例
设某五层钢筋混凝土框架结构，结构层质量都为 m=400000kg，每层刚度都为 k=200000kN/m，结构阻 尼矩阵按 Rayleigh 阻尼由前二阶振型阻尼比确定，即 C=aM+bK(α和β由前二阶振型阻尼比确定） 。取前二阶 振型阻尼比ξ1=ξ2=0.05。外界干扰为 EL Centro(NS,1940)地震波，输入峰值为 200Gal。取 F ( t ) x g ，地 震作用位置矩阵 D S M {1} ，{1}表示为元素均为 1 的列向量。本算例用来说明 LQR 算法设计主动控制 力的步骤，并讨论控制参数对结构控制系统反应、控制力和动力特性的影响规律。




3 主动控制系统的阻尼和频率特性
LQR 控制算法是状态反馈控制器，具有形式 U GZ [ K G CG ][ X
T
X T ]。由此可以看出，LQR

设计的控制力以弹性力和阻尼力施加在结构上，导致结构的频率和阻尼发生变化。以下仍以上述控制参数 来讨论 LQR 控制算法确定的控制力对受控结构频率和阻尼的影响。 使用 Matlab 软件中 eig 函数计算结构控制系统的特征值，如下式：
3
表 1.1 结构地震最大反应和控制力（LQR 算法） 最大层间位移(cm) 工况 1 无控 β α （× 10^6） 0.01 0.1 0.5 1 100 3 5 8 12 15 50 53.3 4 8 0.14 0.38 0.58 0.63 0.90 1.05 1.25 1.44 1.56 1.25 1.56 0.10 0.28 0.48 0.56 0.84 0.98 1.08 1.19 1.29 1.08 1.29 0.08 0.21 0.37 0.48 0.71 0.87 1.01 1.07 1.05 1.01 1.05 0.05 0.13 0.27 0.36 0.52 0.64 0.76 0.85 0.90 0.76 0.90 0.02 0.06 0.13 0.18 0.27 0.34 0.40 0.45 0.48 0.40 0.48 0.77 1.46 1.86 1.96 2.23 2.39 2.52 2.61 2.66 2.52 2.66 1.21 2.04 2.48 2.65 2.73 2.73 2.92 3.07 3.14 2.92 3.14 1.46 2.31 2.89 2.97 2.86 2.75 2.77 2.93 3.02 2.77 3.02 1.60 2.46 3.06 3.06 2.81 2.71 2.68 2.72 2.78 2.68 2.78 1.66 2.57 3.12 3.08 2.81 2.77 2.76 2.86 3.00 2.76 3.00 3813 3403 2678 2213 1480 1169 918 731 640 918 640 3083 2848 2313 1969 1340 1065 840 670 587 840 587 2328 2194 1838 1579 1088 874 697 560 492 697 492 1559 1485 1268 1095 771 625 499 401 368 499 368 781 749 746 560 400 325 260 218 202 260 202 2.79 2 2.43 3 1.91 4 1.28 5 0.65 1 2.93 2 3.68 3 4.23 4 4.48 5 5.04 1 2 3 4 5 最大加速度(m/s^2) 最大控制力（kN）
1 连续时间状态方程及其解
1.1 状态方程 n 各自由度的土木工程结构在环境干扰 F(t)作用下的运动方程可以表示为
M X (t ) C X (t ) KX (t ) Ds F (t )


X (t0 ) X 0
X (t0 ) X 0


（2.1）
其中：X 是位移向量；M、C 和 K 分别是结构的质量、阻尼和刚度矩阵；Ds 是环境干扰位置矩阵；方 程的后两项是初始位移向量和初始速度向量。 为控制结构反应，在结构上安装 p 个控制装置，主动作动器通过拉索给结构提供的控制力 U(t)，相应 的位置矩阵为 Bs，于是受控结构运动方程表示为
图 1-2 结构首层最大位移反应和最大控制力与β的关系（α=100）
4
（a）位移
（b）控制力 图 1-3 结构第一层位移反应和控制力时程曲线（α=100，β=8×10^-6）
5
4.2 LQR 控制系统的阻尼和频率特性 由特征值表达式（2.9）的实部和虚部可求得受控结构的频率和附加阻尼比，其第一振型频率与无控结 构第一频率比的值，以及其附加阻尼比见表 1.2 。
频率比 a1 / 1 附加阻尼 a1
从表 1.2 可以看出，当β较小时，受控结构的频率和附加阻尼比与无控结构相比明显增大；但β 取较大 值时（β>3×10^-6） ，随β 的增大，受控结构的频率几乎不变，阻尼比减小，但均给结构增加了阻尼比。因 此，LQR 控制算法这几的主动控制力主要以阻尼力的形式施加在结构上。
-1 1 0 0 0
0 -1 1 0 0
0 0 0 -1 0 1 - 1 0 1 0
（2.12）
受控结构系统状态方程描述如下：