利用数形结合法解题应注意的几个问题：
1、要彻底明白一些概念和运算的几何意 义，以及曲线与方程的对应关系
2、通过坐标系做好“数”与“形”之间 的相互转化
3、要正确确定变量的取值范围
巩固：设函数 f (x) x2 1 ax 其 中 a >0 解不等式f (x)≤1
分析：要解不等式
x2 1 ax ≤1
三.不等式中的图形 11.求不等式的解集
求不等式 4 x2 kx 2的解集。 4
三.不等式中的图形 12.求不等式的解集
求不等式 4 x2 1 x b的解集。 42
三.不等式中的图形
21.求不等式恒成立的条件
在（0，1 ）内，求使不等式x 2 2

log a
x
恒成立的a的取值范围。

按向量 a (m, n)平移后的性质。
二.方程、函数中的图形
11.根的个数 方程 lg x sin x根的个数
二.方程、函数中的图形
12.根的个数
方程 tan x sin x在0，2 根的个数。
二.方程、函数中的图形
13.根的个数
方程 log a x ax (a 0, a 1)根的个数
《数形结合》专题报告
数形结合思想专题讲座
数学是研究现实生活中空间形式和数量关系的科
学，所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和 结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其 几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起 来。数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直 观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵 活性、形象性、直观性、使问题化难为易，化抽 象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面。纵观历届高考题，数形结合主要体现 在“以形助数”方面。这种数学思想在高考经常 考察。
四.解析几何中的图形
11.体会圆锥曲线性质 第一定义 第二定义 第三定义
四.解析几何中的图形 21.归纳圆锥曲线结论
点M (x0, y0 )是直角坐标平面内的任一点， P是曲线上的任一点，试讨论直线
x0 x a2

y0 y b2

1与曲线
x a
2 2

y2 b2
1的位置关系。
五.立体几何中的图形 完善空间想象
◆数形结合的两种常见方法
以数辅形：即用代数的方法解决几何问题，如
解析几何。
以形助数：即挖掘某些数式的几何背景和几何
意义。
◆著名数学家华罗庚高度概括数形结合 数缺形时少直观，形少数时难入微
◆数形结合是重要数学思想之一
◆应用数形结合方法解题的基本策略：
一、在解决和几何图形有关的问题时，将图形 信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转 化为代数问题；
二、在解决与数量相关的问题时，根据数 量的结构特征，构造出相应的几何图形，即 化为几何问题.
即利用数与形的辨证统一和各自的优势尽快地
得到解题途径.尤其是填空、选择题，更快捷。
一、函数中的图形
11.有关范围计算
设全集U （ x, y) x R, y R, A （x, y) y ax2 4x 2 ,
求CU A
一、函数中的图形
12.有关范围计算
求函数y 1 1,x1,2的值域.
一、函数中的图形
13.有关范围计算
求函数y x2 2x 4, x t,t 2的值域。
已知函数y x2 2x 4在x m, n上的 值域是3，4，求m, n的取值范围。
一、函数中的图形
21.观察函数的性质 试述函数y x ln x的单调性。
一、函数中的图形
22.观察函数的性质 试论函数y ax b 的图象性质。
x
一、函数中的图形
23.观察函数的性质 试述函数y x sin x的单调区间。
一、函数中的图形
31.观察函数的变换
试述函数 y sin(3x 2)的图象
即 x2 1 ≤1+ax
进而转化为y= x2 1 与y=1+ax两函 数图象关系。只要求使y=1+ax图象在 y= x2 1 上方的自变量x取值范围。
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