欧拉法具有 1 阶精度。
例1: 用欧拉公式求解初值问题
y 2xy2 （0 x 1.2）
y
0
1
取步长 h 0.1。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
yi1 yi 2hxi yi2 i 0,1,...,11
y
0
1
其中 xi 0。.1i 计算结果列于下表：
i
xi
L 0 s.t. f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 ,
x [a, b], y1, y2 [ y(x) , y(x) ]
二、初值问题解的存在唯一性
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
欧拉法的R局i 的部主截项断误差：
/* leading term */
Ri
y(xi1)
yi1
[ y(xi ) hy(xi )
h2 2
y(xi ) O(h3)][ yi
hf (xi ,
yi )]
h2 2
y( xi ) O(h3 )
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。 y1,L , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
三、初值问题的离散化方法
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出y(xi )的近似 yi 值(i 1, ... , n),取 y0。
常微分方程的数值解法分为 （1）初值问题的数值解法 （2）边值问题的数值解法
一、初值问题的数值解法
1、一阶常微分方程初值问题的一般形式
y f (x, y), a x b
y(a)
y0
(1)
2. 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程 组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数 值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法 （数值积分）、有限元法（函数插值）等等。
洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：
dx dt
x
y
dy
dt
rx
y
xz
dz dt
bz
xy
该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动பைடு நூலகம்强度x与水平和垂直方
向的温度变化y和z联系了起来。参数 称为普兰特数，r是规范 化的瑞利数，b 和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，
(2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式
3. 微分方程的数值解法需要解决的主要问题
(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？ (2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？ (3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?
4、相关定义
记 D {(x, y) a x b, y(x) y y(x) } 称 f (x, y)在区域D上对 y 满足Lipschitz条件是指:
x0
x1
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
y1
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yi1 yi h f (xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 /* local truncation error */。
yi
y xi
1
0.1 1.000000 0.990099
2
0.2 0.980000 0.961538
3
0.3 0.941584 0.917431
如果计算 y，i1只用到前一步的值 ，y则i 称这类方
法为如单果步计方算法yi。1需用到前r步的值yi, yi1,L , yir1
,则称这类方法为r步方法。
§2 欧拉方法 /* Euler’s Method */
➢ 欧拉公式(单步显示公式）：
向前差商近似导数
y( x0 )
y( x1 ) h
y( x0 )
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
问题驱动：蝴蝶效应 洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象——蝴 蝶效应。
图10.1.1蝴蝶效应示意图
无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛
伦兹用数值解绘制结果图10.1.1，并发现了混沌现象。
§1 引 言
微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 a,b上的 y1 x, y2 x都成立，
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值