实验三 用matlab 求极限和导数
1.求极限、导数的MATLAB 命令
MATLAB 中主要用limit,diff 分别求函数的极限与导数。

可以用help limit, help diff 查阅有关这些命令的详细信息
例1首先分别作出函数
x y 1
cos
=在区[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间
上的图形，观测图形在0=x 附近的形状。

在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x); plot(x,y) 结果如图2.1
图2.1函数
x y 1
cos
=的图形
根据图形，能否判断出极限x x x x 1
sin
lim ,1cos lim 00
→→的存在性？ 当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：
>>clear;
>>syms x; %说明x 为符号变量
>>limit(sin(1/x),x,0)
结果为ans = -1 .. 1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限x x 1sin
lim 0
→不
存在，同样，极限x x 1
cos
lim 0
→也不存在。

例2 首先分别作出函数
x x
y sin =
在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上
的图形，观测图形在0=x 附近的形状。

在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y) 结果如图2.2
图2.2 函数
x x
y sin =
的图形
根据图形，能否判断出极限1
sin lim
0=→x x
x 的正确性？
当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：
>>clear; >>syms x;
>>limit(sin(x)/x,x,0) 结果为ans =1.
例3 观测当n 趋于无穷大时，数列n n n a )11(+=和1
)1
1(++=n n n A 的变化趋势。

例如，
当100,,2,1 =n 时，计算
n
n A a ,的MATLAB 代码为：
>>for n=1:100, a(n)=(1+1/n)^n;,A(n)=(1+1/n)^n ;, end
在同一坐标系中，画出下面三个函数的图形：
e
y x
y x y x x =+=+=+,
)1
1(,
)1
1(1
观测当x 增大时图形的走向。

例如，在区间[10，400]绘制图形的MA TLAB 代码为
>>x=10:0.1:400;
>>y1=exp(x.*log(1+1./x)); y2=exp((x+2).*log(1+1./x)); y3=2.71828; >>plot(x,y1,'-.',x,y2,':',x,y3,'-'); %’-.’表示绘出的图形是点线,’-’是实
线
结果如图2.3，其中点线表示1)11(++=x x y 的图形，虚点线表示
x
x y )1
1(+=的图形。

图2.3
通过观测可以看到，当n 增大时，n n n a )11(+=递增，1
)11(++=n n n A 递减。

随着n 的
无穷增大，
n
a 和
n
A 无限接近，趋于共同的极限 71828.2=e .当然，也可用limit 命令直
接求极限，相应的MATLAB 代码为：
>>clear; >>syms n;
>>limit((1+1/n)^n,n,inf)
结果为ans =exp(1)。

例4已知
2
()f x ax bx c =++,求()f x 的微分. >> f=sym('a*x^2+b*x+c') %定义函数表达式
f =a*x^2+b*x+c
>> diff(f) %对默认变量x 求一阶微分 ans =2*a*x+b
>> diff(f,'a') %对符号变量a 求一阶微分 ans =x^2
>> diff(f,'x',2) %对符号变量x 求二阶微分 ans =2*a
>> diff(f,3) %对默认变量x 求三阶微分 ans =0
例5 先求函数363+-=x x y ，然后在同一坐标系里作出函数
363
+-=x x y 及
其导函数
6
3
'2-
=x
y的图形。

函数求导相应的MA TLAB代码为：
>>clear;
>>syms x;
>>diff(x^3-6*x+3,x,1)
结果为ans =3*x^2-6
函数绘图相应的MA TLAB代码为：
>>x=-4:0.1:4; y1=x.^3-6*x+3; y2=3*x.^2-6;
>>plot(x,y1,x,y2,’:’)
结果如图2.4，其中实线是
3
6
3+
-
=x
x
y的图形，点线是6
3
'2-
=x
y的图形。

图2.4 函数及其导数
这里画的是区间[-4，4]上的图形，也可以选别的区间试试。

习题16-3
1.求下列各极限
（1）
n
n n
)
1
1(
lim-
∞
→（2）
n n
n
n3
lim3+
∞
→（3）
)
1
2
2
(
lim n
n
n
n
+
+
-
+
∞
→
（4）
)
1
1
1
2
(
lim
2
1-
-
-
→x
x
x（5）
x
x
x
2
cot
lim
→（6
）
)
3
(
lim2x
x
x
x
-
+
∞
→
（7）
x
x x
m
)
(cos
lim
∞
→（
8）1
11
lim()
1
x
x x e
-
→
-
-（9）0
1
lim
x
x
+
→
2.求下列函数的导数
(1)
1)
y=
(2)
sin ln
y x x x
=
(3)
sin
x
y e x
-
=(4)
y=。