2019 年高三复习冲刺物理方法汇总专题 06 递推归纳法递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关规律，再辅以数学方法来递推归纳，得出物理量变化的通式，从而探知物理量的变化规律。

在应用递推归纳法解决物理问题时，要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件，因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。

在应用递推归纳法解题时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的运动情况，善于分析出物体运动中的相似阶段，把握物体在相似运动阶段的节点。

把整个运动过程分为若干个相似的阶段，每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。

比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。

在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量，或是运动周期相同，或是末速大小相等，或是位移大小相等，如此不一而足。

因此，递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难一点的是复合数列变化。

例 1．如图 1 所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d ，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里。

一质量为m 、带电量 q 、重力不计的带电粒子，以初速度v 垂直边1界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动。

已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推。

求（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W 。

1（2）粒子第 n 次经过电场时电场强度的大小 E 。

n（3）粒子第 n 次经过电场所用的时间 t 。

n（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零。

请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）22222（3）第n次经过电场时的平均速度v n=v+vv2mv【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由q vB=m得r=r qB则v1：v2：…：v n=r1：r2：…：r n=1：2：…：n（1）第一次过电场，由动能定理得W=1113mv2-mv2=mv221111（2）第n次经过电场时，由动能定理得q E d=mv2-mv2n n+1n解得E=n(2n+1)mv212qd2n+1n n+1=22v，1则时间为t=n（4）如图2d2d=vn(2n+1)v1点评：依据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式，可知带电粒子依次进入磁场的速度大小之比等于其在磁场中的轨道半径之比，可以求出每次进入磁场的速度，每次进入磁场的速度也是前次出电场的速度，以这个速度关系作为抓手，再结合动能定理即可递推归纳出第n次经过电场的场强，至于第n次在电场中匀加速的时间也就迎刃而解了。

本题难度适中，运动模型虽然复杂一些，但模型相对单一，仅是电场与磁场周期性运动，应用的物理规律可以是动能定理，也可以是动力学运动规律，学生的得分率较高。

例2．雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。

现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。

已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。

此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。

不计空气阻力。

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v n′；m v n ’2。

a. b. a.第 1 次碰撞前12 0 1 2 0 0m b.第 2 次碰撞前121 12 1 0⎝ m 1 m 2 ⎪⎪2 gl⎪⎪ v 2+  0 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ m 2 m 2 ⎪⎪2 gl ⎪⎪ v 2 =  0 ⎪⎪ v 2 +  0⎝ m 2 ⎭⎭ ⎝ ⎭ = 0 ⎪ v 2 + 0 ⎪2 g l m ⎭ 0⎝ 3 m 2 ⎝ ⎭⎛ ∑1- m 2 ⎪= 0 ⎪⎪ v 2 + n =0⎪2 g l ⎝ m n ⎭ 0 ⎪ =1⎛ ∑1-m 2 ⎪ m 0 ⎪⎪ v 2 + m n =0 ⎪ g l 2 n ⎝ m ⎭ 0 ⎪（2）若考虑重力的影响， 求第 1 次碰撞前、后雨滴的速度 v 1 和 v 1′； 求第 n 次碰撞后雨滴的动能 1 2 n【解析】（1）若不计重力，则 ： m v = m v '0 0n nv ' = n mm 0 v n（2）若考虑重力的影响，1m v 2 - m v 2 = m glv 2 = v 2 + 2 g lv = v 2 + 2gl1 01第 1 次碰撞后m v = m v '0 11 1v ' = m 0 v = 1 1 1m0 m1v 2 + 2 g l ① 01m v 2 - m v 2 = m gl 1v 2 = v ' 2 + 2gl2 1⎛ m 利用①得： v 2 =  0 ⎫ 2 ⎛ m 2 +m 2 ⎫ 0 1 1 ②第 2 次碰撞后 ，利用②得 v '2 2⎛ m =  1 ⎫ 2 ⎛ m ⎫ 2 ⎛ m 2 + m 2 ⎫2 0 2 1同理，第 3 次碰撞后 v ' 2 3⎛ m ⎫ 2⎛ m 2 + m2 + m 2 ⎫1 2 3第 n 次碰撞后v ' 2 n ⎛ m ⎫ 2 i n ⎫ m 2 ⎪ n⎝ ⎭Em v ' 22n n=1⎛ m ⎫2in nn ⎫n m 2 ⎪⎝ ⎭点评：本题是动能定理与动量守恒综合题，中等偏上难度。

在递推时要先用动能定理求出碰撞前的雨滴速度（被碰雨滴静止），再应用动量守恒定律求出碰撞后共同速度，这样，完成了一个运动的周期。

雨滴继续自由下落加速，再碰撞求出共同速度，如此递推归纳，可求出 n 次碰撞后的速度与动能。

加速度的大小a = 5eU 4md③2a1 0 ) )例 3．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为 d 的两平行极板，如图 3 所示，加在极板 A 、B 间的电压 UAB作周期性变化，其正向电压为 U ，反向电压为 -kU (k > 1) ，0 0电压变化的周期为 2τ ，如图 4 所示。

在 t=0 时，极板 B 附近的一个电子，质量为 m 、电荷量为 e ，受电场作用由静止开始运动。

若整个运动过程中，电子未碰到极板 A ，且不考虑重力作用。

（1）若 k = 54，电子在 0—2r 时间内不能到达极板 A ，求 d 应满足的条件；（2）若电子在 0—2r 时间未碰到极板 B ，求此运动过程中电子速度 v 随时间 t 变化的关系；（3）若电子在第 N 个周期内的位移为零，求 k 的值。

【解析】（1）电子在 0～τ 时间内做匀加速运动加速度的大小 a =1 eU0 ① md位移 x = 1 1 a τ 2 12②在 τ～2τ 时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动0 2初速度的大小 v = a τ④1 1v 2 匀减速运动阶段的位移 x =⑤22依据题， d > x + x 1 2 9eU τ 2 解得 d > ⑥10m（2）在 2n τ ～ (2n + 1 τ，（n =0,1,2，……99）时间内速度增量 ∆v = a τ⑦11在 (2n + 1 τ～ 2(n + 1)τ ，（n =0,1,2，……99）时间内a t t )tτv = [(n + 1)(k + 1)τ - kt ]eUdm⑿2 2 a 1)τ加速度的大小 ‘ = 2 ekU md速度增量∆v = -a ' τ ⑧2 2(a)当 0≤ t - 2n τ <τ 时电子的运动速度v = n ∆v + n ∆v + a ( - 2n τ )121⑨解得 v = [ - (k + 1)n τ ]ekUmd0 (n =0,1,2, ……,99) ⑩(b)当 0 ≤ t - (2n + 1 τ < τ 时电子的运动速度v = (n + 1)∆v + n ∆v - a ' [ - (2n + 1) ]1 2 2⑾解得0 ，(n =0,1,2, (99)（ 3）电子在 2(N -1)τ ~ (2N -1)τ 时间内的位移 x 2N-1= v1 τ + a τ 22 N -2 1电子在 (2N -1)τ ~ 2N τ 时间内的位移 x2N= v1τ + ‘τ 22 N -1 2由⑩式可知 v2N-2= (N - 1)( - k τ eUdm由⑿式可知v2N-1= (N - Nk + k )eU0 dm依题意得x2N -1+ x2N= 0解得： k = 4N - 14N - 3点评：本题第 1 小题使学生感知到电子运动时间的周期性；在第 1 小题的基础上递推出经过时间 t 的速度，在这个递推的过程中，要善于归纳出每个周期的速度变化量，并且要分析清楚电子运动最后小于半周期的时间，是落在前半周期还是落在后半周期，以便求出电子两种情况下的末速度；利用第 2 小题的求出的速度，递推出第 N 个周期内位移为零，自然是水到渠成。

本题三问逐渐推进，环环相扣，命题立意具有非常高的艺术性与科学性。

例 4.使一个原来不带电的导体小球与一带电量为 Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量为 q ，让小球反复与大球接触，在每次分开后，却给大球补充电荷，使其电量恢复到原来的值Q ，求， q 所以 q = q 1 + Q ⎪ ⎝ ⎭q ⎛ q ⎫ 2 ⎤Q ⎝ Q ⎭ ⎥⎦q ⎛ q ⎫ 2 ⎛ q ⎫ n -1 ⎤ q = q ⎢1 + +  ⎪ + .........  Q ⎪⎭Q ⎪⎭ Q ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎝小球可能获得的最大电量。

【解析】模型构建小球与大球为理想导体，净电荷均匀分布在表面；每次接触不会漏电数理整合设 q ，q ，q.......q 和Q Q Q ......Q 分别为第 1，2，3，............ n 次接触后小球和大球所 带 123n123n电量则 q = q , Q = Q - q1 1q 1 = Q 1q q = k, 2 = = k,.......... Q - q Q Q - q2Q = Q + q - q = Q + q - q2122⎛ q ⎫⎪2⎡ 同理q 3 = q ⎢1 + +  ⎪ ⎥⎢⎣第 n 次接触后⎡ ⎥ n当 n → ∞ ，q =n qQQ - q例 5.如图 8 所示电路R = R = R = ...... = R = 5Ω, R = R = R = ...... R = 10Ω, 电源电动势 ε = 10V ，内阻不计，1 359924698求电阻 R 上的电动率。