引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。
由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
中值定理的内容及联系 基本内容[4][5]对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。
而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。
它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。
这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
Lagrange 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()()=f b f a f b a ξ-'-Cauchy 定理设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-。
三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。
首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。
相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。
通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。
继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的()g x x '=的话，发现定理成为了拉格朗日定理。
这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。
我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。
总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。
我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。
若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x 轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。
定理的推广[6][7]前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。
从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数()f x 在[],a b 上是连续，在(),a b 内是可导。
那么我们如果把定理中的闭区间[],a b ，把它推广到无限区间[),a +∞或(),-∞+∞，再把开区间(),a b 推广到无限区间(),a +∞或(),-∞+∞的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。
定理1 若()f x 在[),a +∞上连续，在(),a +∞内可导，且()()lim x f x f a →+∞=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
证明： 令11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a tϕ=+-当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈即()1a ϕ=，()0lim t t ϕ→=+∞，再令()()()f x f t g t ϕ==⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()()()lim lim lim 11t t x g t f t f x f a f g ϕϕ→→→+∞=====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()00lim t g g t →=()()01g g ∴=() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01g g =，由Rolle 定理可得到至少存在一点()0,1ε∈，使()0g ε'=成立令()ξϕε=，有()()0f ξϕε''⋅=，而()210ϕεε'=-≠.至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立证毕定理2 若()f x 在(),-∞+∞上连续，在(),-∞+∞内可导，并且()()lim lim x x f x f x →-∞→+∞=，至少存在一点(),ξ∈-∞+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2的证明可以参照定理1。
定理3 若()f x 在[),a +∞上连续，在[),a +∞内可导，并且()lim x f x M →+∞=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()21M f a f a ξξ-⎡⎤⎣⎦'=+-成立。
证明：设11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a tϕ=+-当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈即()1a ϕ=，()0lim t t ϕ→=+∞，再令()()()f x f t g t ϕ==⎡⎤⎣⎦ ∴()()()0lim lim lim t t x g t t f x M ϕ→→→+∞===()()00lim t g g t M →==() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，由Lagrange 定理得至少存在一点()0,1ε∈，使()()()1010g g g ε-'=-成立即()()g f a M ε'=-令()ξϕε=，有()()()g f εξϕε'''=•，而()()2211a ϕεξε'=-=-+-，至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()21M f a f a ξξ-⎡⎤⎣⎦'=+- 成立. 证毕 定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。
我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。
我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。
利用定理证明方程根（零点）的存在性例 1 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦至少存在一根。
分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦。
那么方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦有根的话，则原方程也有根。
变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=⎡⎤⎣⎦。
现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数()()()()222f b f a x b a f x ---⎡⎤⎣⎦在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证明:令()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦， 显然()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导， 而()()()()22F a f b a b f a F b =-=. 根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ，使()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-⎡⎤⎣⎦.证毕本文主要在于辅助函数()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。
对于构造辅助函数我们可以得到()()F a F b =，所以选在利用罗尔定理证明。
这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。
下来我们继续看两道例题：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明：在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦成立。
分析：对于等式()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦，则可以两边同除以b a -，即等式左端为()()bf b af b b a--，这个商式可看为函数()xf x 在[],a b 上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange 定理，那么可构造辅助函数()()F x xf x =。
证明: ()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导， 由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使()()()F b F a F b aξ-'=-，即()()()()bf b af a f f x b aξξ-'+=-，即()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦证毕设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明:在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()ln b f b f a f a ξξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭成立。