3x 13 q( x)
31x 7 r( x) 故商式 q( x) 3x 13, 余式 r( x) 31x 7. 于是 f ( x) (3x 13)g( x) (31x 7).
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例 求一个次数最低的实系数多项式， 使其被x2 1除余式为x+1， 被x3+x2 1除余式为x2 1。
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例 设 f ( x) 3x3 4x2 5x 6, g( x) x2 3x 1,
用g( x)去除f ( x),求商式和余式.
解 g(x)
f (x)
x2 3x 1 3x3 4x2 5x 6
3x3 9x2 3x
13x2 8x 6
13x2 39x 13
推论2 若( f ( x), g( x)) 1,( f ( x), h( x)) 1,则
( f ( x), g( x)h( x)) 1.
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例2 若f(x),g(x)不全为0，且 u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))，
那么(u(x),v(x))=1
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定理 任何数域都包含有理数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
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三、一元多项式的基本概念
设P是一个数域, x是一个符号(或称文字).
定义2 设n是一非负整数, 形式表达式
an xn an1 xn1 L a1 x a0
(1)
其中 a0 , a1, , an P, 称为系数在数域P中的一元多
的条件. (或者 g(x)=x2+x+1）
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七、最大公因式
设f ( x), g( x)是两个多项式,如果多项式( x) | f ( x), 且 ( x) | g( x),则( x)称为f ( x)与g( x)的一个公因式.
定义6 设f ( x), g( x) P[ x],如果有d( x) P[x],满足 下列条件 :
当 f (x), g(x)不全为零时, 用记号( f (x), g(x))来表 示 f (x)和g(x)的首项系数为1的最大公因式.
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定理2 对任意 f (x), g(x)∈P[x], 其最大公因式d(x)
存在, 且有u(x), v(x)∈P[x], 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x)
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六、整除概念及性质
定义 设 f (x), g(x)∈P[x], 如果存在h(x)∈P[x],使 f (x) = g(x)h(x)
则称g(x)整除 f (x), 记为g(x)| f (x), 并称g(x)是 f (x)的 因式, f (x)是g(x)的倍式.
当g(x)不整除 f (x)时, 记为
定理(带余除法) 设f ( x), g( x) P[ x], g( x) 0,
则唯一存在q( x), r( x) P[ x],使得
f (x) q(x)g(x) r(x)
(1)
其中(r( x)) ( g( x))或者r( x) 0.
(1)式中的g(x)与r(x)分别称为g(x)除 f (x)所得的 商式与余式.
第一讲 数域P上的一元多项式
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一、数域的定义
定义1 设P是复数集的一个非空子集,且0,1 P. 如果对任意a, b P(a, b可以相同),都有a b, ab P, 且当b 0时, a P, 那么P就称为一个数域.
b 例如, 全体有理数组成的集合,全体实数组成的 集合,全体复数组成的集合都是数域.分别称为有理 数域,实数域,复数域,分别用字母Q, R,C来代表. 全体整数组成的集合,不是数域.因两个整数之 商不一定是整数.
四、次数公式
定理 设 f (x), g(x)是数域P上的两个非零多项式, 则 (i) 当f ( x) g( x) 0时,
( f ( x) g( x)) max(( f ( x)), ( g( x)))
(ii) ( f ( x)g( x)) ( f ( x)) (g( x))
4. 零次多项式(即非零常数)能整除任一多项式.
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
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例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n. 例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？ 例3 求g(x)=x4+x2+1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
显然, f (x)与g(x)互素 它们除零次因式外不再
有其它公因式. 几个简单事实: (1) 若 f (x)与g(x)互素, 则 f (x)与g(x)不全为零多
项式. (2) 零多项式与零次多项式互素, 且只与零次多项
式互素. (3) 零次多项式与任意多项式互素.
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定理3 设 f ( x), g( x) P[x],则( f ( x), g( x)) 1 存 在u( x), v( x) P[x],使
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二、例
例1 设P {a b 2 | a, b Q},则P是数域,这个 数域用Q( 2)表示.
证 显然0,1 P. a b 2, c d 2 P, (a b 2) (c d 2) (a c) (b d ) 2 P, (a b 2)(c d 2) (ac 2bd ) (ad bc) 2 P,
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多项式的整除有如下的一些基本性质: 1. 如果 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x)，则 f ( x) cg( x),
c为非零常数. 2. 若f ( x) | g( x), g( x) | h( x), 则 f ( x) | h( x).
(整除的传递性)
3. 若f ( x) | gi ( x), ui ( x) P[x], i 1, 2,L , r,则 f ( x) | [u1 ( x)g1 ( x) u2 ( x)g2 ( x) L ur ( x)gr ( x)]
ri2 ( x) qi ( x)ri1 ( x) ri ( x), (ri ( x)) (ri1 ( x))
rs3 ( x) qs1 ( x)rs2 ( x) rs1 ( x), (rs1 ( x)) (rs2 ( x))
rs2 ( x) qs ( x)rs1 ( x) rs ( x), (rs ( x)) (rs1 ( x))
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1. 设f ( x), g( x)和h( x)是实数域上多项式,证明 : 若 f 2 ( x) xg2 ( x) xh2 ( x)
则f ( x) g( x) h( x) 0. 2. 求一组满足上式的不全为零的复系数多项式
f ( x), g( x)和h( x).
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五、带余除法
rs1 ( x) qs1 ( x)rs ( x) 0. 这种方法称为辗转相除法.
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由最大公因式定义可知, 若 d1 ( x), d2 ( x)都是 f (x) 与g(x)的最大公因式, 则 d1 ( x) | d2 ( x),且d2 ( x) | d1 ( x)， 于是由整除的性质, d1 ( x) cd2 ( x)，c 0, c P. 即两个多项式的最大公因式, 如不计零次因式的差异 是唯一的.
(2)
1) 适合定理条件的u(x), v(x)不是唯一的.
2) 对任意的u(x), v(x), 由
d( x) u( x) f ( x) v( x)g( x)
d( x)是 f ( x), g( x)的最大公因式.
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八、互素
定义7 如果( f (x), g(x))=1, 则称 f (x)与g(x)互素.
u( x) f ( x) v( x)g( x) 1
定理4 若( f ( x), g( x)) 1,且 f ( x) | g( x)h( x),则 f ( x) | h( x).
推论1 若f1 ( x) | g( x), f2 ( x) | g( x),( f1( x), f2 ( x)) 1, 则 f1 ( x) f2 ( x) | g( x).
项式, 或者简称为数域P上的一元多项式.
在多项式(1)中, ai xi 称为i次项, ai为i次项的系数 (a0叫做零次项或常数项).
常用 f (x), g (x), … ，或 f, g, … 来表示一元多 项式.
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定义 所有系数在数域P上的一元多项式的全体, 称为数域P上的一元多项式环, 记为P[x],P称为P[x]的 系数域.
注: (1) “整除”只是多项式间的一种关系而不是一 种运算.
(2) 任何一个多项式g(x)都能整除零多项式.
(3) 零多项式能且只能整除零多项式.
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(4) 零次多项式(即数域P中非零数)是任何多项式 的因式, 且反之亦然.
定理1 设 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,则g( x) | f ( x) g( x)除 f ( x)的余式为零.
(ac 2bd ) (ad bc) 2
a2 2b2

ac a2
2bd 2b2

ad bc a2 2b2
2P
故Q( 2) {a b 2 | a, b Q}是数域.
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同样可证Q( p) {a b p | a,b Q, p是素数} 是数域.
1) d( x) | f ( x), d( x) | g( x); 2) 若h( x) | f ( x), h( x) | g( x), 都有h( x) | d( x). 则称d( x)是f ( x)与g( x)的一个最大公因式.