第二章 消费者行为专题第一章阐述了消费者行为的基本理论，这些理论已在许多方面得到发展，并且已被应用于包括一系列特定类型效用函数的最优行为。

本章讨论这些发展和具体应用的部分内容。

本章第一节讨论产生可以估算的线性支出函数的效用函数。

第二节定义可分的和可加的效用函数，并考察它们的特定性质。

第三节的主题是齐次的和位似的效用函数的性质。

第四节从价格和收入角度定义了效用函数，确定了效用函数和需求函数的进一步关系。

第五节概述显示偏好理论，它是根据可以观测的消费者行为而得到的重要定理。

第六节证明对于一组商品，如果他们的价格总是以相同比例变动，则他们可以当作一个单一的复合商品。

消费者可从商品的消费中获得“消费者剩余”，因此第七节讨论消费者剩余的计量。

第八节里，消费者行为理论被发展到不确定性条件下的选择。

第九节把这种分析运用到了保险问题上。

第一节 线性支出系统许多年来，经济理论家们分析了消费者的最优行为，计量经济学家们估算了消费者需求和支出的关系，以及这二者之间的一些联系。

值得庆幸的是，理论与实际工作的距离已经缩小，一大批可用 于实际估算的理论型的正确范例业已建立。

本节所论述的是一个例子。

考虑效用函数1U ＝α1㏑（q 1-γ1）+α2㏑（q 2-γ2）上式的定义域为 q 1 >γ1 ,q 2 >γ2 。

γ可以解释为最低生活费用数量，是正的,α也是正的。

运用正的单调变换（monotonhic transformation ） U ’＝U/（α1＋α2）,以得到 U ’＝β1㏑（q 1-γ 1 ）+β 2㏑（q 2－γ 2 ）系数β1和β 2（β1＋β 2＝1）叫做“分享“参数（share parameter ）。

列出拉格朗日函数：Z ＝β1㏑（q 1－γ 1 ）＋β 2㏑（q 2－γ 2 ）＋λ(y －p 1q 1－p 2q 2) 且令它的一阶偏导数等于零：0p q q Z 0p q Z 2222211111＝－－＝＝－－＝λγβλγβ∂∂∂∂q （2－1－1） 02211=--=∂∂q p q p y Zλ可以证明二阶条件得到了满足，收入的边际效用在这个例子中是递减的。

为求最优数量，解（2－1－1），得需求函数：1这个函数以克莱因—鲁宾或斯通—吉尔里（Klein —Rubin or Stone － Geary ）效用函数著称。

见 L.R.克莱因和H.鲁宾：《生活费用的不变效用指数》（A Constant －Utility Index of the Cost of Living ），《经济学研究评论》（Review of Economics Studies ），第15卷（1947－48年），第84－87页；R.C.吉尔里：《对生活费用的不变效用指数的说明》（A Note on a Constant Utility Index of the Cost of Living ），《经济学研究评论》，第18卷（1949－50年），第65－66页；R.斯通：《线性支出系统和需求分析：在英国需求模型分析的应用》（Linear Expenditure Systems and Demand Analysis ：Application to the Pattern of British Demand ）,《经济学杂志》（economic Journal ），第64卷（1954年），第511－527页。

)()(2211222222111111γγβγγγβγp p y p q p p y p q --+=--+= （2－1－2）通过（2―1－2）的第一个方程式乘以p 1，第二个方程乘以p 2，得支出函数）－－（＋＝）－－（221122222221111111p p y p q p p p y γγβγγγβγ+=p q p （2－1－3）它在收入和价格上都是线性的，因而，适合于线性回归分析。

第二节 可分效用函数与加性效用函数假定效用函数严格正值拟凹、光滑、递增。

在这里和本章第三节，考虑满足某些新的一般假定的效用函数的性质。

可分性是要考虑的第一个新假定。

一个效用函数，如果可以写成下列（2－2－1）的形式，则它在其所有自变量上就是强可分的：)]([1i ni i q f F U ∑==(2－2－1 )其中，F 和f i 都是增函数。

U ＝ln （q 1α＋q 2β＋q 3γ）就是一例。

一个效用函数，如果可以写成下列（2－2－2）的形式，那它就是强加性的:)q f U n1i i i ∑＝（＝ (2－2－2 )其中，f i 是递增的。

可加性（additivity ）是可分性的一种具体情形。

U ＝（q 1α＋q 2β＋q 3γ）就是一例。

任何效用函数，只要它单调变换后具有加性，则对于适用于加性函数的一切定理，它就可以看作是加性函数。

函数U ＝q 1αq 2是可分的，但并不呈现出加性。

然而，它的对数变换（log transformation ）F （U ）＝αln q 1＋ln q 2是加性的。

类似地，U ＝ln（q 1α＋q 2β＋q 3γ）的反对数（antilog ）是强加性的。

对（2－2－1）关于q i 和 q j 微分，再用其中的一个除以另一个，则'f 'f 'f F''f 'F Rcs j i j i ==（2－2－3） 从（2－2－1）可知，一般来说，每种商品的边际效用取决于所有商品的数量。

然而，（2－2－3）表明Q i 和Q j 之间的RCS 仅仅取决于q i 和 q j 的数量。

由此可推知，强可分性的假定，允许作一般情况下不可能进行的成对分析。

加性效用函数也具有这种性质，就是所有交叉偏导数等于零，即∂2/ ∂q i ∂q j =0对于所有i ≠j ，且在有两个变量的情况下，严格正则拟凹性条件就是f 11f 22＋f 22f 12<0。

一个效用函数，如果其他变量可以分成两（或更多）组（q i ，…， q k ）和（q k ＋1，…q n ），使下式成立，则它是弱可分性．．．．的。

U=F[（q i ，…， q k ）+（q k ＋1，…q n ）]如果能够使得下式成立，则是弱可加性．．．．的．U= f1（qi，…，qk）+f2（qk＋1，…qn）在这里，可分性意味着同组内的商品对的RCS，不受组外变量数量的影响。

加性意味着，不同组商品对的交叉偏导数恒等于零。

第三节齐次效用函数于位似效用函数一个效用函数，如果f(tq i，，…,t q n)＝t k f(q i，…，q n) （2－3－1）其中，k是一个常数，t是使（tq i，…，t q n）在函数定义域内的任何正实数，则这个效用函数就k次齐次函数。

k次齐次函数的偏导数，是（k－1）次的齐次函数。

对（2－3－1）作关于q i的偏微分（见附录第二节）：tf1(tq i，…，t q n)＝t k f1(q i，…，q n)这样，Q i和Q j的RCS：对于所有消费品的同比例变动来说，是不变的。

如果消费者在两种消费组合之间是无差异的，则任何与它们具有相同倍数的其它组合之间，它将也是无差异的。

对于两个不同的效用函数，如果其中的一个函数是另一个的单调增函数，则对应于这两个不同效用函数的无差异曲线将是同一的。

因而，齐次函数所展示的性质，由齐次函数的单值增函数的所有函数展示出来了。

这种包括齐次函数在内的主要种类中效用函数，称为位似．．效用函数。

如果效用函数是位似的，商品替代率将取决于相对的而不是绝对的商品数量。

RCS 方程的考察，可以表明一个具体效用函数是不是位似的。

例如，U＝α－1/q1αq2不是一个齐次函数；然而，因为f1 /f2＝αq2/q1,所以，它是位似函数。

第四节间接效用函数一，一般效用函数：U=f(q1、q2、…、q n) （2－4－1）预算约束：y=∑n i=1p i q i （2－4－2）由于需求函数对于收入和价格是零次齐次的，故可对所有商品的相对价格单纯型化：1＝∑n i=1v i q i，v i＝p i/y （2－4－3）拉格朗日函数：L=f(q1、q2、…、q n)+λ（1－∑n i=1v i q i）（2－4－4）最大化一阶条件：f i-λv i=0，或f i=λv i i＝1，2，…，n （2－4－5）1－∑n i=1v i q i =0 （2－4－6）由一阶条件可得普通需求函数：q i＝D i(v1,v2,…,v n)，i＝1，2，…，n （2－4－7）二，间接效用函数是以单纯型化的价格为自变量的效用函数U=f[D1(v1,v2,…,v n)，D2(v1,v2,…,v n)，…，D n(v1,v2,…,v n)]=g(v1,v2,…,v n) （2－4－8）直接效用函数描述偏好独立于市场现象。

间接效用函数反映市场价格对于效用最大化的影响。

由反函数法则和一阶条件，可得：∑∑∂∂∂∂∂∂=n1i j i i n 1i j i i j j v q v v q f v g ＝＝＝＝λgj ＝1，2，……，n （2－4－9）其中第三个等式是由于（2－4－5）。

（2－4－3）关于v j 求偏微分，得：j jini iq v q v -=∂∂∑=1j ＝1，2，……，n （2－4－10） 这样（2－4－9）可以改写为：j j q g λ-=，即： λjj g q -= j ＝1，2，……，n （2－4－11）这是罗伊恒等式。

表明最优商品需求取决于间接效用函数的导数和拉格朗日乘数（即收入的边际效用）。

把（2－4－11）代入（2－4－6），得：∑=-=ni i i g v 1λ （2－4－12）把（2－4－12）代入（2－4－11），得罗伊恒等式的另一种形式：∑n1i ii jj gv g q ＝＝j ＝1，2，……，n （2－4－13）三，直接效用函数现在以（2－4－8）为目标函数、以（2－4－3）为约束条件，以（2－4－3）中标准化的价格为变量、数量作参数，求最优化问题。

列出拉格朗日函数1：∑⋯⋯n1i i i n 211q v v v v g Z ＝）－（）＋，，（＝μ 令其偏导数为零：0q g v Zi i i＝＝μ+∂∂ i ＝1，2，……，n ∑-∂∂n1i i i 01q v Z ＝＝＝μ （2－4－14） 把价格作为数量的函数，解（2－4－14）得“反需求函数”：v i ＝V i (q 1，q 2，…，q n ) （2－4－15） 定义直接效用函数h(q 1，q 2，…,q n )为：U=g[V 1(q 1，q 2，…,q n )，…,V n (q 1，q 2，…q n )]＝h(q 1，q 2，…,q n )（2－4－16） 这提供了在数量为变量、价格作参数情况下直接效用问题的一种平行形式。