(x
1 ex x2
)(x
1)
，令
h(x)
x
1
ex
，则
h
'(x)
1
ex
，当
x
0
时
h
'( x)
0
，所以当
试题
x 0 时 h(x) h(0) 0 ，所以当1 x 2 时 g '(x) 0 ，所以函数 g(x) 在 (1, 2) 上单调递减，所以
解析
当 x [1,2] 时， g(2) g(x) g(1) ，即 5 e2 g(x) 2 e ，又函数 f (x) 在区间[1, 2] 内有且仅有 2
针对训练*举一反三
1．（2020·北京首都师大二附高三三模）已知函数
f
(x)
2x
ln x
(x 0) ，且关于 x 的方程 f (x) x a 0 (x 0)
有且只有一个实数根，则实数 a 的取值范围（ ）．
A．[0, )
B． (1, )
C． (0, )
D． [,1)
【答案】B
【解析】因为条件等价于函数 y f (x) 的图象与直线 y x a 只有一个交点，作出图象如图，
) 的图象有一个横坐标为
3
的交点，若函数
g(x)
的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
倍后，得到的函数在[0, 2 ] 有且仅有
5
个零点，则 的取值范围是( )
A．
29 24
,
35 24
B．
29 24
,
35 24
C．
29 24
,
35 24
D．
29 24
,
35 24
【答案】A
B． (, 0) (1, )
C． (, 0)
【答案】B
D． (0,1) (1, )
【解析】设 t f x ，则 f t 0 有且只有一个实数根.
当a0
时，当 x 0
时，
f
x
a
1 x 3
0
，由 f t 0 即 log1 t 0 ，解得 t 1， 3
结合图象可知，此时当 t 1时，得 f x 1 ，则 x 1 是唯一解，满足题意；
x
在区间
0,
15
上单调递增；④
的取值范围是
161 ,
5 2
，其中所有正确结论的编
号是( )
A．①③
B．①③④
C．②③
D．①④
【答案】B
【解析】
x
[0,
]
，x
3
3
,
3
，
令
z
x
3
，则
z
3
,
3
，
由题意 sin z
1 2
在 3
,
3
上只能有两解 z
5 6
和 z 13 6
，
4．（2020·湖南省高三三模）已知函数
f
(x)
sin
x
3
(
0),
f
(x)
1 2
在区间
0,
上有且仅有 2 个零点，
对于下列 4 个结论：①在区间 0, 上存在 x1, x2 ，满足 f x1 f x2 2 ；② f x 在区间 0, 有且仅
有 1 个最大值点；③ f
的取值范围是（ ）
典型
A．[5 e2 , )
例题
2
B． (, 2 e]
C． (5 e2 , 2 e) 2
D．[5 e2 , 2 e] 2
令 f (x) 0 ，即 ex x2 ax 1 0 ，分离参数可得 a x 1 ex ，令 g(x) x 1 ex ，则
xx
xx
g
'(x)
解（*）得 11 5 ，所以④成立；
6
2
当

0,
15
时，
z
3
,
15
3
，
由于
11 6
5 2
，故
z
3
,
15
3
3
,
2
，
此时
y
sin z 是增函数，从而
f
x
在
0,
15
上单调递增.
所以③成立
综上，①③④成立，故选：B.
5．（2020·全国高三二模）已知函数 f (x) cos x 与 g (x) sin(2x )(0
13 17 ，（*）
6
36
因为
z
3
,
3
上必有 sin
2
sin 3 2
2，
故在 (0, ) 上存在 x1, x2 满足 f x1 f x2 2 ，①成立；
z 开对应的 x （显然在 0, 上）一定是最大值点， 2
因 z 5 对应的 x 值有可能在0, 上，故②结论错误； 2
由图可知， a 1，故选：B．
2．（2020·宁夏回族自治区高三二模）已知函数
f
(
x)
log3 x2
x ，x 0 4x 1，x
0
，函数
F
(
x)
f (x) b 有四个
不同的零点 x1 ，
x2 ，
x3 ，
x4 ，且满足：
x1< x2< x3< x4
，则
x1 x2 x3 x4
的值是（
）
A． 4
一个零点，所以 5 e2 a 2 e ，故实数 a 的取值范围是[5 e2 , 2 e]，故选 D．
2
2
本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零 题后
点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于导函数与 0 的关系需要进一步对导函数再次进行求
反思 导.
模板三： 函数的零点问题
利用零点存在性定理可以根据函数 y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这 种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为: 模板 构建
（2020·湖北省高三二模）若函数 f (x) ex x2 ax 1 在区间[1, 2] 内有且仅有一个零点，则实数 a
【解析】已知 f (x) cos x 与 g (x) sin(2x )(0 ) 的图象有一个横坐标为 的交点，则
∴
x1 x2 x3 x4
4 1
4 .故
x1 x2 x3 x4
的值是-4.故选：A.
3．（2020·内蒙古自治区高三二模）已知函数
f
(x)
log
1 3
x,
x
0
a
1 3
x
,
x
0
，若关于
x 的方程
f
[
f
(x)]
0 有且只
有一个实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (,0) (0,1)
3
当
a
0 时，此时当
x
0
时，
f
x
a
1 3
x
0 ，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当a 0
时，当 x 0
时，
f
x
a
1 x 3
a,
，此时
f
x
最小值为 a
，
结合图象可知，要使得关于 x 的方程 f [ f (x)] 0 有且只有一个实数根，此时 a 1 .
综上所述： a 0 或 a 1.故选:A.
B． 3
C． 2
D． 1
【答案】A
【解析】 F (x) f (x) b 有四个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 就是 y f (x), y b 图象交点横坐标，
作出 f (x) 的函数图象如图所示：
由图象知 x1 x2 4 ，
log3 x3 log3 x4 x3x4 1，