16
系数为零， 可任意取值。 由泛函取极值的必要条件一阶变分为零，即 J a ( x, t ) 0 ，可得
( f d L T L T ) T ( ) 0 x dt x x
（2-5-15）
, , t ) L ( x, x , t ) T (t ) f ( x, t ) ， 由（2-5-12）式中 La ( x, x （2-5-15）式也可表示
J a ( x, ) t {[
La T L L [ a ]T } dt ] x [ a ]T x 0 x x tf L f L f T ( x, t ) } dt {[( ) T T ] x [ ]T x t0 x x x
15
F ( x, y ) 0
解此方程组求得 x、y 和λ，其中 x、y 就是该条件极值问题的可能极值点。 用 Lagrange 乘数法解本例题，有
F (r , l , ) V ( r , l ) [ A(r , l ) A0 ] r 2 l ( 2r 2 2rl A0 )
V (r , l ) r 2l
A(r , l ) 2 r 2 2 rl A0
（2-5-1） （2-5-2）
则该问题即为在约束条件 A(r , l ) A0 下，求 V( r, l )最大值。 （1） 消元法
2 由（2-5-2）式可得 l A0 2 r 2 r
（2-5-3）
, t ) T (t ) ( x, t )} dt J a ( x, ) {L( x, x
tf
f
t0
, , t ) dt La ( x, x
t0
tf
（2-5-12）
称为 Lagrange 乘子(multiplier)， 又称协态变量(costate)。 其中λ(t)为 n ╳ 1 维向量， 当 x 满足（2-5-11）式时，则对任意 λ(t) 都有 Ja=J 。 对（2-5-12）式，可以用 Taylor 级数展开求 Ja（x,λ）的一阶变分。
f , t ) dt J ( x ) L ( x, x
t
t0
（2-5-17）
在微分方程等式约束条件
, t ) 0 f ( x, x
（2-5-18）
约束下的极值问题。其中f [ f1 , f 2 , , f n ]T 是 n 维向量函数。 应用 Lagrange 乘子法，取广义泛函
（2-5-6）
应满足极值条件为
F 2rl ( 4r 2l ) 0 r F r 2 2l 0 l F 2r 2 2rl A0 0
（2-5-7） （2-5-8） （2-5-9）
解此方程组可得 r
A0 A0 ， l 2 A0 ， ，与消元法结果相同。 24 6 6
F ( x, y , ) f ( x, y ) ( x, y )
其中λ是一个待定系数，称为 Lagrange 乘数（乘子） 。则对 F ( x, y, ) 求极值，应 满足下列极值条件 F f 0
x x x
F f 0 y y y
代入（2-5-1）式得
V (r ) r A0 r 3 2
（2-5-4）
将其对 r 求导数并令其为 0，有
dV 1 A0 3 r 2 0 dr 2
（2-5-5）
解之得 r
A0 ，代入（2-5-3）式得 l 2 A0 ，此时即为在表面积 A0 约束下容器 6 6
容积最大时 r 和 l 的取值。 （2） Lagrange 乘数法 等式约束条件下多元函数极值的 Lagrange 乘数法的提法为： 欲求函数 z f ( x, y ) 在条件函数 ( x, y ) 0 约束下的极值点，可构造函数
2. 5 等式约束条件的泛函极值问题－Lagrange 乘子法
1．函数极值问题的两种解法 从代数和微积分我们知道，函数求极值问题有两种不同解法——直接消元法 和 Lagrange(拉格朗日)乘数法。 例：容器制造问题 考虑在表面积 A 一定情况下容积最大的圆柱形容器尺寸。设容器高为 l，半 径为 r，则容器的容积 V 和表面积 A 分别为
2．求泛函极值的 Lagrange 乘子法 考虑泛函
f , t ) dt J ( x ) L ( x, x
t
t0
（2-5-10）
在等式约束条件
f ( x, t ) 0
（2-5-11）
约束下的极值问题。其中f [ f1 , f 2 , , f n ] T 是 n 维向量函数。 类似于求函数极值的 Lagrange 乘数法，定义下列广义泛函
tf
（2-5-13）
，得 用分部积分法消去 x
J a ( x, ) t {[(
0
tf
L f d L T L T t ) T ( ) ] x f T ( x, t ) } dt ( ) T x t0f x dt x x x
（2-5-14） 假设考虑的是端点固定问题，则上式最后一项为零。 ˆ 应满足等式约束条件 f ( x ˆ , t)=0， 即上式中 前 又由达到极值时的极值轨线 x
, t ) T (t ) f ( x, x , t )} dt J a ( x, ) {L( x, x
t0
tf
为
d , , t ) , , t ) 0 La ( x, x L ( x, x a x dt x
（2-5-16）
（2-5-16）式即为对应于广义泛函 Ja（x,λ）的欧拉方程，它与约束条件（2-5-11） 构成求泛函极值的必要条件。 3．具有微分方程等式约束的泛函极值 进一步讨论泛函